Question

8．长方体ABCD-A′B′C′D′中，交于顶点A的三条棱长分别为AD=3，AA′=2，AB=4，则从点A沿表面到C′的最短距离为（　　）

• A． 5$\sqrt{2}$
• B． $\sqrt{41}$
• C． $\sqrt{53}$
• D． $\sqrt{45}$

Answer 1

分析 A点沿表面到C′共有三种情况，一是经平面AB′，A′C′，二是经平面AB′，BC′，三是经平面AC，BC′，画出三种情况下|AC′|的图形，并利用勾股定理进行求解，最后比较三个结果，最小的即为答案．

解答 解：从A点沿表面到C′的情况可以分为以下三种：
①与A′B′相交，如下图示：

此时AC′=$\sqrt{{5}^{2}+{4}^{2}}$=$\sqrt{74}$．
②与BB′相交，如下图示：

此时AC′=$\sqrt{{7}^{2}+{2}^{2}}$=$\sqrt{53}$．
③与BC相交，如下图示：

此时AC′=$\sqrt{{6}^{2}+{3}^{2}}$=$\sqrt{45}$
综上，从A点沿表面到C′的最短距离为 $\sqrt{45}$．
故选：D．

点评 本题考查的知识点是多面体表面上的最短距离问题，利用数形结合的思想，让问题更直观是解答本题的关键．