Question

3．已知直线y=-x+1与椭圆$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1（{a＞b＞0}）$相交于A、B两点．
（1）若椭圆的离心率为$\frac{{\sqrt{2}}}{2}$，焦距为2，求线段AB的长；
（2）若向量$\overrightarrow{OA}$与向量$\overrightarrow{OB}$互相垂直（其中O为坐标原点），当椭圆的离心率$e∈[{\frac{1}{2}，\frac{{\sqrt{2}}}{2}}]$时，求椭圆长轴长的最大值．

Answer 1

分析 （1）运用离心率公式及a，b，c的关系，解得a，b，可得椭圆方程，将直线y=1-x代入椭圆方程，求交点，由两点的距离公式计算即可得到所求值；
（2）设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），联立直线方程和椭圆方程，运用韦达定理，再由向量垂直的条件：数量积为0，运用离心率公式，可得a关于e的等式，化简整理，即可得到所求2a的最大值．

解答 解：（1）由题意可得$e=\frac{{\sqrt{2}}}{2}，2c=2$，
即有$a=\sqrt{2}，c=1$，则$b=\sqrt{{a^2}-{c^2}}=1$，
即有椭圆的方程为$\frac{x^2}{2}+{y^2}=1$，
联立$\left\{\begin{array}{l}\frac{x^2}{2}+{y^2}=1\\ y=-x+1\end{array}\right.$，消去y得：3x²-4x=0，
解得$A（{\frac{4}{3}，-\frac{1}{3}}），B（{0，1}）$，
即有$|AB|=\frac{4}{3}\sqrt{2}$；
（2）设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
由$\overrightarrow{OA}⊥\overrightarrow{OB}$，可得$\overrightarrow{OA}•\overrightarrow{OB}=0$，即x₁x₂+y₁y₂=0，
由$\left\{\begin{array}{l}\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1\\ y=-x+1\end{array}\right.$，消去y得（a²+b²）x²-2a²x+a²（1-b²）=0，
由△=（-2a²）²-4a²（a²+b²）（1-b²）＞0，
整理得a²+b²＞1，又${x_1}+{x_2}=\frac{{2{a^2}}}{{{a^2}+{b^2}}}，{x_1}{x_2}=\frac{{{a^2}（{1-{b^2}}）}}{{{a^2}+{b^2}}}$，
y₁y₂=（-x₁+1）（-x₂+1）=x₁x₂+（x₁+x₂）+1，
由x₁x₂+y₁y₂=0，得2x₁x₂-（x₁+x₂）+1=0，
即为$\frac{{2{a^2}（{1-{b^2}}）}}{{{a^2}+{b^2}}}-\frac{{2{a^2}}}{{{a^2}+{b^2}}}+1=0$，
整理得a²+b²-2a²b²=0，
b²=a²-c²=a²-a²e²，代入上式得$2{a^2}=1+\frac{1}{{1-{e^2}}}$，
即有${a^2}=\frac{1}{2}（{1+\frac{1}{{1-{e^2}}}}）$，由$\frac{1}{2}≤e≤\frac{{\sqrt{2}}}{2}$，可得$\frac{1}{4}≤{e^2}≤\frac{1}{2}$，
则$\frac{1}{2}≤1-{e^2}≤\frac{3}{4}$，即$\frac{4}{3}≤\frac{1}{{1-{e^2}}}≤2$，
即$\frac{7}{3}≤1+\frac{1}{{1-{e^2}}}≤3$，可得$\frac{7}{6}≤{a^2}≤\frac{3}{2}$，适合条件a²+b²＞1，
由此得$\frac{{\sqrt{42}}}{6}≤a≤\frac{{\sqrt{6}}}{2}$，即$\frac{{\sqrt{42}}}{3}≤2a≤\sqrt{6}$，
故长轴长的最大值为$\sqrt{6}$．

点评 本题考查椭圆的方程的求法，注意运用离心率公式，以及弦长的求法，考查直线方程和椭圆方程联立，运用韦达定理，以及向量垂直的条件：数量积为0，考查化简整理的运算能力，属于中档题．