Question

17．已知（1+x+x²）（x+$\frac{1}{{x}^{3}}$）ⁿ的展式中没有常数项，n∈N^*，且2≤n≤8，试求出n的值．

Answer 1

分析 要想使已知展开式中没有常数项，需（x+$\frac{1}{{x}^{3}}$）ⁿ（n∈N^*）的展开式中无常数项、x^-1项、x^-2项，利用（x+$\frac{1}{{x}^{3}}$）ⁿ（n∈N⁺）的通项公式讨论即可．

解答 解：设（x+$\frac{1}{{x}^{3}}$）ⁿ（n∈N^*）展开式的通项为T_r+1，
则T_r+1=${C}_{n}^{r}$•x^n-r•x^-3r=${C}_{n}^{r}$•x^n-4r，2≤n≤8，
当n=2时，若r=1，（1+x+x²）（x+$\frac{1}{{x}^{3}}$）ⁿ（n∈N^*）的展开式中有常数项${C}_{2}^{1}$，故n≠2；
当n=3时，若r=1，（1+x+x²）（x+$\frac{1}{{x}^{3}}$）ⁿ（n∈N^*）的展开式中有常数项${C}_{3}^{1}$，故n≠3；
当n=4时，若r=1，（1+x+x²）（x+$\frac{1}{{x}^{3}}$）ⁿ（n∈N^*）的展开式中有常数项${C}_{4}^{1}$，故n≠4；
当n=5时，r=0、1、2、3、4、5时，（1+x+x²）（x+$\frac{1}{{x}^{3}}$）ⁿ（n∈N^*）的展开式中均没有常数项，故n=5适合题意；
当n=6时，若r=2，（1+x+x²）（x+$\frac{1}{{x}^{3}}$）ⁿ（n∈N^*）的展开式中有常数项${C}_{6}^{2}$，故n≠6；
当n=7时，若r=2，（1+x+x²）（x+$\frac{1}{{x}^{3}}$）ⁿ（n∈N^*）的展开式中有常数项${C}_{7}^{2}$，故n≠7；
当n=8时，若r=2，（1+x+x²）（x+$\frac{1}{{x}^{3}}$）ⁿ（n∈N^*）的展开式中有常数项${C}_{8}^{2}$，故n≠8；
综上，n=5．

点评 本题考查了二项式定理以及二项展开式的通项公式与应用问题，也考查了分类讨论思想的应用问题，属于难题．