Question

3．已知椭圆C：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞b＞0）的右焦点为F，上顶点为A，短轴长为2，O为原点，直线AF与椭圆C的另一个交点为B，且△AOF的面积是△BOF的面积的3倍．
（1）求椭圆C的方程；
（2）如图，直线l：y=kx+m与椭圆C相交于P，Q两点，若在椭圆C上存在点R，使OPRQ为平行四边形，求m的取值范围．

Answer 1

分析 （1）由题意可得b=1，A（0，1），设F（c，0），B（x₀，y₀），运用三角形的面积公式可得y₀=-$\frac{1}{3}$，再由直线AF的方程经过B，可得B的坐标，代入椭圆方程，解得a，b，进而得到椭圆方程；
（2）设P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂），由OPRQ为平行四边形，可得x₁+x₂=x_R，y₁+y₂=y_R，R在椭圆C上，代入椭圆方程，再由直线l与椭圆方程联立，运用韦达定理和判别式大于0，化简整理，解不等式即可得到所求m的范围．

解答 解：（1）短轴长为2，可得b=1，
即有A（0，1），设F（c，0），B（x₀，y₀），
△AOF的面积是△BOF的面积的3倍，
即为$\frac{1}{2}$c•1=3•$\frac{1}{2}$c•|y₀|，
可得y₀=-$\frac{1}{3}$，由直线AF：y=-$\frac{x}{c}$+1经过B，
可得x₀=$\frac{4}{3}$c，即B（$\frac{4}{3}$c，-$\frac{1}{3}$），代入椭圆方程可得，
$\frac{16{c}^{2}}{9{a}^{2}}$+$\frac{1}{9}$=1，即为a²=2c²，即有a²=2b²=2，
则椭圆方程为$\frac{{x}^{2}}{2}$+y²=1；
（2）设P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂），
由OPRQ为平行四边形，可得x₁+x₂=x_R，y₁+y₂=y_R，
R在椭圆C上，可得$\frac{（{x}_{1}+{x}_{2}）^{2}}{2}$+（y₁+y₂）²=1，
即为$\frac{（{x}_{1}+{x}_{2}）^{2}}{2}$+（k（x₁+x₂）+2m）²=1，
化为（1+2k²）（（x₁+x₂）²+8km（x₁+x₂）+8m²=2，①
由$\left\{\begin{array}{l}{y=kx+m}\\{{x}^{2}+2{y}^{2}=2}\end{array}\right.$可得（1+2k²）x²+4kmx+2m²-2=0，
由△=16k²m²-4（1+2k²）（2m²-2）＞0，即为1+2k²＞m²，②
x₁+x₂=-$\frac{4km}{1+2{k}^{2}}$，代入①可得$\frac{16{k}^{2}{m}^{2}（1+2{k}^{2}）}{（1+2{k}^{2}）^{2}}$-$\frac{32{k}^{2}{m}^{2}}{1+2{k}^{2}}$+8m²=2，
化为1+2k²=4m²，代入②可得m≠0，
又4m²=1+2k²≥1，解得m≥$\frac{1}{2}$或m≤-$\frac{1}{2}$．
则m的取值范围是（-∞，-$\frac{1}{2}$]∪[$\frac{1}{2}$，+∞）．

点评 本题考查椭圆方程的求法，注意运用椭圆的性质和点满足椭圆方程，考查直线方程和椭圆方程联立，运用韦达定理和判别式大于0，考查化简整理的运算能力，属于中档题．