Question

15．已知函数f（x）=$\frac{lnx}{x}$-a（a∈R）
（Ⅰ）求f（x）的单调区间；
（Ⅱ）若函数f（x）有两个零点，求a的取值范围；
（Ⅲ）设若函数f（x）有两个零点为m，n，求证：mn＞e²．

Answer 1

分析 （Ⅰ）求出函数的导数，解关于导函数的不等式，求出函数的单调区间即可；
（Ⅱ）等价于函数y=f（x）的图象与直线y=a有两个交点，求出函数的值域，从而求出a的范围即可；
（Ⅲ）不妨设m＞n，由题意得lnm=am，lnn=an，求出a，问题转化为求h（x）=lnx+$\frac{2（x-1）}{x+1}$的单调性，根据h（x）＞0，（x＞1），得到lnm+lnn＞2，从而证出结论．

解答 解：（Ⅰ）函数f（x）的定义域为（0，+∞）．…（1分）
因为f（x）=$\frac{lnx}{x}$-a，所以f′（x）=$\frac{1-lnx}{{x}^{2}}$，…（2分）
所以，当0＜x＜e时，f′（x）＞0，所以f（x）在（0，e）上单调递增；
当x＞e时，f′（x）＜0，所以f（x）在（e，+∞）上单调递减．…（3分）
所以f（x）的单调递增区间为（0，e），单调递减区间为（e，+∞）．…（4分）
（Ⅱ）令g（x）=$\frac{lnx}{x}$，则函数f（x）有两个零点，等价于方程g（x）=a有两个根，
等价于函数y=f（x）的图象与直线y=a有两个交点．…（5分）
因为g′（x）=f′（x）=$\frac{1-lnx}{{x}^{2}}$，所以，由（Ⅰ）知g（x）在x=e时取得最大值，最大值为$\frac{1}{e}$，
当x→0时，g（x）→-∞；当x→+∞时，g（x）→0，所以0＜a＜$\frac{1}{e}$．…（8分）
（Ⅲ）证明：不妨设m＞n，由题意得lnm=am，lnn=an，
两式相减得lnm-lnn=a（m-n），所以a=$\frac{lnm-lnn}{m-n}$，…（10分）
所以（m-n）（a-$\frac{2}{m+n}$）=（m-n）（$\frac{lnm-lnn}{m-n}$-$\frac{2}{m+n}$）=ln$\frac{m}{n}$-$\frac{2（\frac{m}{n}-1）}{\frac{m}{n}+1}$，…（12分）
令h（x）=lnx+$\frac{2（x-1）}{x+1}$，当x＞1时，h（x）＞0，
所以a＞$\frac{2}{m+n}$，即$\frac{lnm+lnn}{m+n}$＞$\frac{2}{m+n}$，
整理为lnm+lnn＞2，故mn＞e²．…（14分）

点评 本题考查了函数的单调性问题，考查导数的应用以及不等式的证明，是一道综合题．