Question

4．动点P在抛物线x²=2y上，过点P作PQ垂直于x轴，垂足为Q，设$\overrightarrow{PM}=\frac{1}{2}\overrightarrow{PQ}$．
（Ⅰ）求点M的轨迹E的方程；
（Ⅱ）设点S（-4，4），过N（4，5）的直线l交轨迹E于A，B两点，设直线SA，SB的斜率分别为k₁，k₂，求|k₁-k₂|的最小值．

Answer 1

分析 （I）设M的坐标，根据中点坐标公式，将P点坐标代入整理可求得M的轨迹方程；
（II）直线l过点N，设l的方程为：y=k（x-4）+5，与E联立，整理得：x²-4kx+16k-20=0，根据韦达定理，分类讨论l是否经过点S，并分别求得直线的斜率，即可求|k₁-k₂|的最小值．

解答 解：（I）设点M（x，y），P（x₀，y₀），则由$\overrightarrow{PM}=\frac{1}{2}\overrightarrow{PQ}$，得$\left\{\begin{array}{l}{x_0}=x\\{y_0}=2y\end{array}\right.$，
因为点P在抛物线x²=2y上，所以，x²=4y．（4分）
（II）由已知，直线l的斜率一定存在，
设点A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），则
联立$\left\{\begin{array}{l}y=k（x-4）+5\\{x^2}=4y\end{array}\right.$，
得，x²-4kx+16k-20=0，
由韦达定理，得$\left\{\begin{array}{l}{x_1}+{x_2}=4k\\{x_1}{x_2}=16k-20\end{array}\right.$．（6分）
当直线l经过点S即x₁=-4或x₂=-4时，
当x₁=-4时，直线SA的斜率看作抛物线在点A处的切线斜率，
则  k₁=-2，${k_2}=\frac{1}{8}$，此时$|{{k_1}-{k_2}}|=\frac{17}{8}$；
同理，当点B与点S重合时，$|{{k_1}-{k_2}}|=\frac{17}{8}$（学生如果没有讨论，不扣分）
直线l不经过点S即x₁≠-4且x₂≠-4时∵${k_1}=\frac{{{y_1}-4}}{{{x_1}+4}}，{k_2}=\frac{{{y_2}-4}}{{{x_2}+4}}$，
∴${k_1}{k_2}=\frac{{（k{x_1}-4k+1）（k{x_2}-4k+1）}}{{（{x_1}+4）（{x_2}+4）}}$，（8分）
=$\frac{{{k^2}{x_1}{x_2}+（k-4{k^2}）（{x_1}+{x_2}）+16{k^2}-8k+1}}{{{x_1}{x_2}+4（{x_1}+{x_2}）+16}}$，
=$\frac{1-8k}{32k-4}=-\frac{1}{4}$，（10分）
故$|{{k_1}-{k_2}}|≥2\sqrt{|{{k_1}{k_2}}|}=2•\sqrt{\frac{1}{4}}=1$，
所以|k₁-k₂|的最小值为1．（12分）

点评 本题主要考查轨迹方程的求法，直线和圆锥曲线的位置关系的应用，韦达定理的应用，属于中档题．