Question

6．如图，在三棱锥A-BCD中，AB=AC=AD=BC=CD=4，$BD=4\sqrt{2}$，E，F分别为AC，CD的中点，G为线段BD上一点．
（Ⅰ）求直线BE和AF所成角的余弦值；
（Ⅱ）当直线BE∥平面AGF时，求四棱锥A-BCFG的体积．

Answer 1

分析 （Ⅰ）取CF的中点为H，连EH，BH，EH∥AF，可得∠BEH（或其补角） 即为BE与AF所成角，由已知求解直角三角形可得BH、EH、BE的值，利用余弦定理求得答案；
（Ⅱ）取BD的中点为O，连AO，CO，则$AO=CO=2\sqrt{2}$，利用线面垂直的判定得AO⊥平面BCD．可得$V_{A-BCD}^{\;}=\frac{1}{3}×\frac{1}{2}×4×4×2\sqrt{2}=\frac{{16\sqrt{2}}}{3}$．连DE交AF于M，则M为△ACD的重心，得到${V_{A-FDG}}=\frac{1}{3}{V_{A-BCD}}$，进一步由${V_{A-BCFG}}=\frac{2}{3}{V_{A-BCD}}$得答案．

解答 解：（Ⅰ）取CF的中点为H，连EH，BH，EH∥AF，
∴∠BEH（或其补角） 即为BE与AF所成角．
由已知得AB⊥AD，BC⊥CD，CH=1，
∴$BH=\sqrt{17}$，$EH=\sqrt{3}，BE=2\sqrt{3}$，
∴$cos∠BEH=\frac{B{E}^{2}+E{H}^{2}-B{H}^{2}}{2BE•EH}=\frac{（2\sqrt{3}）^{2}+（\sqrt{3}）^{2}-（\sqrt{17}）^{2}}{2×2\sqrt{3}×\sqrt{3}}$=$-\frac{1}{6}$．
∴直线BE和AF所成角的余弦值为$\frac{1}{6}$；
（Ⅱ）取BD的中点为O，连AO，CO，则$AO=CO=2\sqrt{2}$，
∴AO⊥OC，AO⊥BD，从而AO⊥平面BCD．
∴$V_{A-BCD}^{\;}=\frac{1}{3}×\frac{1}{2}×4×4×2\sqrt{2}=\frac{{16\sqrt{2}}}{3}$．
连DE交AF于M，则M为△ACD的重心，且$\frac{DM}{ME}=\frac{2}{1}$，
∵BE∥平面AGF，∴BE∥GM，$\frac{DG}{GB}=\frac{2}{1}$．
∴${V_{A-FDG}}=\frac{1}{3}{V_{A-BCD}}$，${V_{A-BCFG}}=\frac{2}{3}{V_{A-BCD}}$=$\frac{{32\sqrt{2}}}{9}$．

点评 本题考查异面直线及其所成的角，考查空间想象能力和思维能力，训练了利用等积法求三棱锥的体积，是中档题．