Question

已知函数f（x）=

sinπx

(x2+1)(x2-2x+2)

，下列结论正确的是

（1）（3）（4）

．
（1）方程f（x）=0在区间[-100，100]上实数解的个数是201个；
（2）函数f（x）是周期函数；
（3）函数f（x）既有最大值又有最小值；
（4）函数f（x）的定义域是R，且其图象有对称轴．

Answer 1

分析：方程f（x）=0即分子为0，根据正弦型函数的性质可判断（1）的真假；由于函数分母恒大于0，且不具备周期性，而分子具有周期性，可判断（2）的真假，根据分母中两项值域均为[1，+∞），其倒数的值域均为（0，1]，故函数必为有界函数，进而判断出（3）的真假；根据函数的分母恒不为0，及f（1-x）=f（x），可判断（4）的真假．

解答：解：（1）若函数f（x）=

sinπx

(x2+1)(x2-2x+2)

=0
则sinπx=0，即x∈z，故方程f（x）=0在区间[-100，100]上实数解的个数是201个，即（1）正确；
（2）由于函数的分子呈周期性变化，而分母不具周期性，故函数f（x）不是周期函数，故（2）错误；
（3）令分母（x²+1）（x²-2x+2）中的两项值域均为[1，+∞），其倒数的值域均为（0，1]，故两个函数相乘后必为有界函数，
故函数f（x）既有最大值又有最小值，故（3）正确；
（4）由于函数的分母恒为正，故函数的定义域为R，
由f（1-x）=

sinπ(1-x)

[(1-x)2+1][(1-x)2-2(1-x)+2]

=

sinπx

(x2-2x+2)(x2+1)

=f（x），可得函数的图象关于x=

1

2

对称，故（4）正确；
故答案为（1）（3）（4）

点评：本题考查的知识点是正弦函数的图象，正弦函数的对称性，三角函数的最值，是三角函数问题的综合应用，难度较大．