Question

（1）在极坐标系中，已知圆ρ=2cosθ与直线3ρcosθ+4ρsinθ+a=0相切，求实数a的值．
（2）对5副不同的手套进行不放回抽取，甲先任取一只，乙再任取一只，然后甲又任取一只，最后乙再任取一只．对于下列事件：①A：甲正好取得两只配对手套；②B：乙正好取得两只配对手套．试判断事件A与B是否独立？并证明你的结论．

Answer 1

考点：点的极坐标和直角坐标的互化,古典概型及其概率计算公式,直线与圆的位置关系

专题：计算题

分析：（1）先圆ρ=2cosθ与直线3ρcosθ+4ρsinθ+a=0，利用直角坐标与极坐标间的关系，即利用ρcosθ=x，ρsinθ=y，ρ²=x²+y²，进行代换即得直角坐标系，再利用直角坐标方程求解即可．
（2）从10只手套中任取4只有C₁₀⁴种不同的取法，甲先任取一只要从5对中取一对且一对中又有两种不同的取法，余下的乙从8只手套中取两只，有C₈²中取法，根据古典概型公式得到结果．乙正好取得两只配对手套做法同乙完全相同．要验证两个时间是否独立，只要验证两个概率的乘积是否等于两个事件同时发生的概率，代入解出的结果进行验证．

解答： 解：（1）p²=2pcosθ，圆ρ=2cosθ的普通方程为：x²+y²=2x，（x-1）²+y²=1，
直线3ρcosθ+4ρsinθ+a=0的普通方程为：3x+4y+a=0，
又圆与直线相切，所以

|3•1+4•0+a|

9+16

=1，解得：a=2，或a=-8．
（2）设“甲正好取得两只配对手套”为事件A
∵从10只手套中任取4只有C₁₀⁴种不同的取法，
甲先任取一只要从5对中取一对且一对中又有两种不同的取法，
余下的乙从8只手套中取两只，有C₈²中取法，
根据古典概型公式得到
P（A）=

C 1 5 ×2× A 2 8

A 4 10

=

1

9

．
P（B）=

C 1 5 ×2× A 2 8

A 4 10

=

1

9

．
∵从10只手套中任取4只有C₁₀⁴种不同的取法，
甲乙两个人都取得成对的手套有C₅²×2×C₂¹×2种不同取法，
∴P（AB）=

C 2 5 ×2× C 1 2 ×2

A 4 10

=

1

63

，
又P（A）=

1

9

，P（B）=

1

9

，
∴P（A）P（B）=

1

81

，
∴P（A）P（B）≠P（AB），故A与B是不独立的．

点评：（1）本小题主要考查曲线的极坐标方程等基本知识，考查转化问题的能力．
（2）对于第（2）小问，手套或鞋子成对问题是概率题目中较困难的问题，可拿一个典型题目认真分析，看清题目解答过程，使得以后遇到知道怎么考虑．本题还考查相互独立事件，一般地，如果事件 相互独立，那么事件同时发生的概率，等于每个事件发生的概率的积．