【题目】如图,四棱锥S﹣ABCD中,AB∥CD,BC⊥CD,侧面SAB为等边三角形.AB=BC=2,CD=SD=1.
(1)证明:SD⊥平面SAB
(2)求AB与平面SBC所成角的正弦值.
【答案】
(1)证明:取AB中点E,连结DE,则四边形BCDE为矩形,DE=CB=2.
连结SE,则
又SD=1,故ED2=SE2+SD2
所以∠DSE为直角,
所以SD⊥SE,
由AB⊥DE,AB⊥SE,DE∩SE=E,得AB⊥平面SDE,所以AB⊥SD.
因为AB∩SE=E,
所以SD⊥平面SAB
(2)解:由AB⊥平面SDE知,平面ABCD⊥平面SDE.
作SF⊥DE,垂足为F,则SF⊥平面ABCD,
作FG⊥BC,垂足为G,则FG=DC=1.
连结SG,则SG⊥BC
又FG⊥BC,SG∩FG=G,
故BC⊥平面SFG,平面SBC⊥平面SFG,
作FH⊥SG,H为垂足,则FH⊥平面SBC,
即F到平面SBC的距离为 .
由于ED∥BC,所以ED∥平面SBC,E到平面SBC的距离d也为 .
设AB与平面SBC所成的角为α,则 .
【解析】(1)取AB中点E,连结DE,证明SD⊥平面SAB,只需证明SD⊥SE,AB⊥SD;(2)求出F到平面SBC的距离,由于ED∥BC,所以ED∥平面SBC,可得E到平面SBC的距离,从而可求AB与平面SBC所成角的正弦值.
【考点精析】掌握直线与平面垂直的判定和空间角的异面直线所成的角是解答本题的根本,需要知道一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直,则该直线与此平面垂直;注意点:a)定理中的“两条相交直线”这一条件不可忽视;b)定理体现了“直线与平面垂直”与“直线与直线垂直”互相转化的数学思想;已知为两异面直线,A,C与B,D分别是
上的任意两点,
所成的角为
,则
.
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【题目】如图,已知四边形ABCD和BCEG均为直角梯形,AD∥BC,CE∥BG,且∠BCD=∠BCE=90°,平面ABCD⊥平面BCEG,BC=CD=CE=2AD=2BG.
(1)求证:EC⊥CD.
(2)求证:AG∥平面BDE.
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【题目】某县相邻两镇在一平面直角坐标系下的坐标为A(1,2)、B(4,0),一条河所在直线方程为l:x+2y-10=0,若在河边l上建一座供水站P使之到A、B两镇的管道最省,问供水站P应建在什么地方?此时|PA|+|PB|为多少?
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【题目】已知A(-,0),B(0,-
),其中k≠0且k≠±1,直线l经过点P(1,0)和AB的中点.
(1)求证:A,B关于直线l对称.
(2)当1<k<时,求直线l在y轴上的截距b的取值范围.
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【题目】某食品的保鲜时间t(单位:小时)与储藏温度x(单位:℃)满足函数关系t=且该食品在4℃的保鲜时间是16小时。已知甲在某日上午10时购买了该食品,并将其遗放在室外,且此日的室外温度随时间变化如图所示。给出以下四个结论:
①该食品在6℃的保鲜时间是8小时;
②当x∈[-6,6]时,该食品的保鲜时间t随着x增大而逐渐减少;
③到了此日13时,甲所购买的食品还在保鲜时间内;
④到了此日14时,甲所购买的食品已然过了保鲜时间。
其中,所有正确结论的序号是__________。
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【题目】设y=f(x)是二次函数,方程f(x)=0有两个相等的实根,且f′(x)=2x+2.
(1)求y=f(x)的表达式;
(2)求y=f(x)的图象与两坐标轴所围成封闭图形的面积.
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