Question

1．四棱锥P-ABCD的底面与四个侧面的形状和大小如图所示．

（1）写出四棱锥P-ABCD中四对线面垂直关系（不要求证明）；
（2）在四棱锥P-ABCD中，若E为PA的中点，求证：BE∥平面PCD；
（3）在四棱锥P-ABCD中，设面PAB与面PCD所成的角为θ（0°＜θ≤90°），求cosθ的值．

Answer 1

分析 （1）由线面垂直的判定定理，即可得到；
（2）方法一、分别以直线AB、AD、AP为x、y、z轴，建立空间直角坐标系，写出P，B，C，D，E的坐标，设$\overrightarrow{{n}_{1}}$=（x，y，z）是平面PCD的法向量，由垂直的条件：数量积为0，可得一个法向量，计算$\overrightarrow{BE}$•$\overrightarrow{{n}_{1}}$=0，即可得证；
方法二、取PD的中点F，连接EF、CF．运用中位线定理，证得四边形BEFC是平行四边形，可得BE∥CF，再也线面平行的判定定理即可得证；
（3）由平面PCD的一个法向量和平面PAB的一个法向量，以及向量的夹角公式，计算即可得到所求值．

解答 解：（1）如图，在四棱锥P-ABCD中，PA⊥平面ABCD，
AD⊥平面PAB，BC⊥平面PAB，AB⊥平面PAD…（4分）
注：多写的按前四对给分，每正确一对，给一分．
CD⊥平面PAC也符合要求．
（2）证法一：依题意AB、AD、AP两两垂直，
分别以直线AB、AD、AP为x、y、z轴，
建立空间直角坐标系，如图．…（5分）
则P（0，0，2），B（2，0，0），C（2，2，0），D（0，4，0）．
∵E是PA中点，∴点E的坐标为（0，0，1），
$\overrightarrow{BE}$=（-2，0，1），$\overrightarrow{PC}$=（2，2，-2），$\overrightarrow{PD}$=（0，4，-2）．
设$\overrightarrow{{n}_{1}}$=（x，y，z）是平面PCD的法向量．
由$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{{n}_{1}}⊥\overrightarrow{PC}}\\{\overrightarrow{{n}_{1}}⊥\overrightarrow{PD}}\end{array}\right.$，即$\left\{\begin{array}{l}{2x+2y-2z=0}\\{4y-2z=0}\end{array}\right.$，
取y=1，得$\overrightarrow{{n}_{1}}$=（1，1，2）为平面PCD的一个法向量．…（6分）
∵$\overrightarrow{BE}$•$\overrightarrow{{n}_{1}}$=-2×1+0×1+1×2=0，∴$\overrightarrow{BE}$⊥$\overrightarrow{{n}_{1}}$，…（8分）
∴$\overrightarrow{BE}$∥平面PCD．又BE?平面PCD，∴BE∥平面PCD．…（9分）
证法二：取PD的中点F，连接EF、CF．

∵E、F分别是PA、PD的中点，
∴EF∥AD，EF=$\frac{1}{2}$AD，∴EF∥BC，且EF=BC，
∴四边形BEFC是平行四边形，∴BE∥CF．…（6分）
又∵CF?平面PCD，BE?平面PCD，
∴BE∥平面PCD．…（9分）
（3）由（2），平面PCD的一个法向量为$\overrightarrow{{n}_{1}}$=（1，1，2），…（10分）
又∵AD⊥平面PAB，∴平面PAB的一个法向量为$\overrightarrow{{n}_{2}}$=（0，1，0）…（12分）
∴cosθ=|$\frac{\overrightarrow{{n}_{1}}•\overrightarrow{{n}_{2}}}{|\overrightarrow{{n}_{1}}|•|\overrightarrow{{n}_{2}}|}$|=|$\frac{1×0+1×1+2×0}{\sqrt{6}}$=$\frac{\sqrt{6}}{6}$．…（14分）

点评 本小题主要考查直线与直线，直线与平面，平面与平面位置关系等基础知识；考查空间想象能力，推理论证能力和运算求解能力．