Question

（2012•眉山二模）（1）已知△ABC中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，

AB

•

AC

=3，a=2

5

，b+c=6，求cosA．
（2）设f（x）=-2cos²

π

8

x+sin（

π

4

x-

π

6

）+1，y=g（x）与y=f（x）的图象关于直线x=1对称，当x∈[-

2

3

，0]时，求y=g（x）的最大值．

Answer 1

分析：（1）由

AB

•

AC

=3，可得 bc•cosA=3，再由余弦定理求得  bc=5，由此求得 cosA=

3

5

．
（2）由三角函数的恒等变换及化简求值可得f（x）=

3

sin（

π

4

x-

π

3

），根据对称性可得 g（x）=f（2-x）=

3

cos（

π

4

x+

π

3

），再由x∈[-

2

3

，0]，求得

3

cos（

π

4

x+

π

3

）的最大值，
即为所求．

解答：解：（1）∵

AB

•

AC

=3，∴bc•cosA=3．  （1分）
又 a²=b²+c²-2bc•cosA=（b+c）²-2bc-2bc•cosA，即 (2

5

)2=6²-2bc-2×3，∴bc=5，（5分）
∴cosA=

3

5

．  （6分）
（2）f（x）=-2cos²

π

8

x+sin（

π

4

x-

π

6

）+1=sin

π

4

x cos

π

6

-cos

π

4

xsin

π

6

-cos

π

4

x=

3

2

sin

π

4

x-

3

2

cos

π

4

x=

3

sin（

π

4

x-

π

3

）．（8分）
∵y=g（x）与y=f（x）的图象关于直线x=1对称，
∴g（x）=f（2-x）=

3

sin[

π

4

(2-x)-

π

3

]=

3

cos（

π

4

x+

π

3

）．   （10分）
∵x∈[-

2

3

，0]，∴

π

6

≤（

π

4

x+

π

3

）≤

π

3

，
∴

3

cos（

π

4

x+

π

3

）的最大值为

3

×

3

2

=

3

2

，即 当x∈[-

2

3

，0]时，求y=g（x）的最大值为

3

2

．（12分）

点评：本题主要考查三角函数的恒等变换及化简求值，余弦定理的应用，正弦函数的定义域和值域，属于中档题．