Question

将正方形ABCD沿对角线BD折成直二面角A-BD-C，有如下四个结论：
①AC⊥BD；②△ACD是等边三角形；③AB与平面BCD所成的角为60°；④AB与CD所成的角为60°．
其中错误的结论是（　　）

A．①

B．②

C．③

D．④

Answer 1

分析：取BD的中点E，则AE⊥BD，CE⊥BD．根据线面垂直的判定及性质可判断①的真假；求出AC长后，可以判断②的真假；求出AB与平面BCD所成的角可判断③的真假；建立空间坐标系，利用向量法，求出AB与CD所成的角，可以判断④的真假；进而得到答案．

解答：解：取BD的中点E，则AE⊥BD，CE⊥BD．?∴BD⊥面AEC．?
∴BD⊥AC，故①正确．?
设正方形边长为a，则AD=DC=a，AE=

2

2

a=EC．
∴AC=a．?
∴△ACD为等边三角形，故②正确．?
∠ABD为AB与面BCD所成的角为45°，故③不正确．?
以E为坐标原点，EC、ED、EA分别为x，y，z轴建立直角坐标系，?
则A（0，0，

2

2

a），B（0，-

2

2

a，0），D（0，

2

2

a，0），C（

2

2

a，0，0）．??

AB

=（0，-

2

2

a，-

2

2

a），

DC

=（

2

2

a，-

2

2

a，0）．
cos＜

AB

，

DC

＞=

1 2 a2

a2

=

1

2

∴＜

AB

，

DC

＞=60°，故④正确．
故选C

点评：本题考查的知识点是线面垂直的判定与性质，空间两点距离，线面夹角，异面直线的夹角，其中根据已知条件将正方形ABCD沿对角线BD折成直二面角A-BD-C，结合立体几何求出相关直线与直线、直线与平面的夹角，及线段的长是关键．