Question

如图，在正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，
（1）求证：A₁C⊥面DBC₁
（2）求二面角C₁-AB-D的大小
（3）求AD₁与面B B₁ D₁D所成角的大小．

Answer 1

分析：（1）利用线面垂直的判定定理：可证BD⊥A₁C，BC₁⊥A₁C；
（2）易知∠C₁BC为二面角C₁-AB-D的平面角，通过等腰直角三角形可求得其大小；
（3）连接AC交BD于点O，连接OD₁，易证∠AD₁O为AD₁与面BB₁D₁D所成的角，通过解直角三角形可求；

解答：（1）证明：图形如右所示：
∵BD⊥AC，BD⊥AA₁
∴BD⊥面AA₁C₁C，
∴BD⊥A₁C，
同理BC₁⊥A₁C，
∴A₁C⊥面DBC₁；
 （2）在正方体中，可知AB⊥BC，AB⊥BC₁，则∠C₁BC为二面角C₁-AB-D的平面角，
在等腰直角三角形BCC₁中，∠C₁BC=45°，
所以二面角C₁-AB-D的大小为45⁰；
（3）连接AC交BD于点O，连接OD₁，
∵AC⊥BD，AC⊥BB₁，
∴AC⊥平面B B₁ D₁D，则∠AD₁O为AD₁与面BB₁D₁D所成的角，
在Rt△AOD₁中，sin∠AD₁O=

1

2

，
所以∠AD₁O=30°，即所求线面角的大小为30°；

点评：本题考查空间位置关系、空间角的求解，考查学生的推理论证能力，属中档题．