Question

16．已知函数f（x）=$\sqrt{1-{x}^{2}}$，g（x）=x+2，若方程f（x+a）=g（x）有两个不同实根，则实数a的取值范围为（$2-\sqrt{2}，1$]．

Answer 1

分析 由题意得到f（x+a），作出函数y=f（x+a）与y=g（x）的图象，由点到直线的距离公式求出两函数图象相切时a的值，数形结合得答案．

解答 解：∵f（x）=$\sqrt{1-{x}^{2}}$，
∴f（x+a）=$\sqrt{1-（x+a）^{2}}$为（x+a）²+y²=1在第一、第二象限的半圆弧，圆心为（-a，0），半径为1；
g（x）=x+2为斜率为1，纵截距为2的直线．
如图：

则f（x+a）与g（x）相切时，其切点在第二象限，则
圆心到直线的距离：$\frac{|2-a|}{\sqrt{2}}=1$，∴a=2+$\sqrt{2}$或2-$\sqrt{2}$，
其中2+$\sqrt{2}$舍去，否则切点在第四象限，∴a=2-$\sqrt{2}$．
数形结合可得，要使方程f（x+a）=g（x）有两个不同实根，则实数a的取值范围为（$2-\sqrt{2}，1$]．
故答案为：（$2-\sqrt{2}，1$]．

点评 本题考查根的存在性及根的个数判断，考查了数形结合的解题思想方法，是中档题．