Question

1．函数f（x）=x+$\frac{a}{x}$（a＞0）在（0，$\sqrt{a}$）与（$\sqrt{a}$，+∞）上是增函数还是减函数？请证明你的结论，并利用函数奇偶性与单调性关系，判断在（-$\sqrt{a}$，0）与（-∞，-$\sqrt{a}$）上的单调性．

Answer 1

分析 根据函数单调性的定义，利用定义法进行证明即可．

解答 解：设x₁＜x₂，
则f（x₁）-f（x₂）=x₁+$\frac{a}{{x}_{1}}$-x₂-$\frac{a}{{x}_{2}}$=（x₁-x₂）+$\frac{a（{x}_{2}-{x}_{1}）}{{x}_{1}{x}_{2}}$=（x₁-x₂）（1-$\frac{a}{{x}_{1}{x}_{2}}$）=（x₁-x₂）•$\frac{{x}_{1}{x}_{2}-a}{{x}_{1}{x}_{2}}$，
若0＜x₁＜x₂＜$\sqrt{a}$，则x₁-x₂＜0，0＜x₁x₂＜a，
即x₁x₂-a＜0，则f（x₁）-f（x₂）＞0，即f（x₁）＞f（x₂），即在（0，$\sqrt{a}$）上是减函数．
若$\sqrt{a}$＜x₁＜x₂，则x₁-x₂＜0，x₁x₂＞a，
即x₁x₂-a＞0，则f（x₁）-f（x₂）＜0，即f（x₁）＜f（x₂），即在（$\sqrt{a}$，+∞）上是增函数．
∵f（-x）=-x-$\frac{a}{x}$=-（x+$\frac{a}{x}$）=-f（x），
∴f（x）是奇函数，
则在（-$\sqrt{a}$，0）上为减函数，在（-∞，-$\sqrt{a}$）上为增函数．

点评 本题主要考查函数单调性的判断和证明，利用函数单调性的定义是解决本题的关键．