Question

9．已知复数z₁=2-3i，${z_2}=\frac{15-5i}{{{{（2+i）}^2}}}$，求：
（1）z₁•z₂；
（2）若z∈C，且|z-z₁|=1，求|z-z₂|的最大值．

Answer 1

分析 （1）利用复数代数形式的乘除运算化简求得z₂，再由复数代数形式的乘法运算求z₁•z₂；
（2）由复数模的几何意义作图得答案．

解答 解：（1）∵z₂=$\frac{15-5i}{（2+i）2}$=$\frac{15-5i}{3+4i}$=$\frac{（15-5i）（3-4i）}{（3+4i）（3-4i）}$=$\frac{25-75i}{25}$=1-3i，
∴z₁z₂=（2-3i）（1-3i）=-7-9i；
（2）由|z-z₁|=1知，z在以（2，-3）为圆心，以1为半径的圆上，
如图：z₂在复平面内对应点为B（1，-3），
∴当z₁对应点为A（3，-3）时，|z-z₂|的最大值为2．

点评 本题考查复数的代数表示法及其几何意义，考查复数模的求法，体现了数形结合的解题思想方法，是基础题．