Question

17．设点M，N的坐标分别为（-2，0），（2，0），直线MP，NP相交于点P，且它们的斜率之积是-$\frac{1}{4}$．
（Ⅰ）求点P的轨迹C的方程；
（Ⅱ）设过定点E（0，2）的直线l与曲线C交于不同的两点A、B，且∠AOB为钝角（其中O为坐标原点），求直线l的斜率k的取值范围．

Answer 1

分析 （I）设P（x，y），可得$\frac{y}{x+2}$•$\frac{y}{x-2}$=-$\frac{1}{4}$，（x≠±2），化简即可得出．
（II）设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），直线l的方程为：y=kx+2．与椭圆方程联立化为：（1+4k²）x²+16kx+12=0，
△＞0，解得k范围．∠AOB为钝角（其中O为坐标原点），可得$\overrightarrow{OA}•\overrightarrow{OB}$=x₁x₂+y₁y₂＜0，进而得出范围．

解答 解：（I）设P（x，y），则$\frac{y}{x+2}$•$\frac{y}{x-2}$=-$\frac{1}{4}$，化为：$\frac{{x}^{2}}{4}$+y²=1（x≠±2）．
∴点P的轨迹C的方程为：$\frac{{x}^{2}}{4}$+y²=1（x≠±2）．
（II）设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），直线l的方程为：y=kx+2．
联立$\left\{\begin{array}{l}{y=kx+2}\\{\frac{{x}^{2}}{4}+{y}^{2}=1}\end{array}\right.$，化为：（1+4k²）x²+16kx+12=0，
△=256k²-48（1+4k²）＞0，解得：$k＜-\frac{\sqrt{3}}{2}$或k$＞\frac{\sqrt{3}}{2}$．
∴x₁+x₂=$\frac{-16k}{1+4{k}^{2}}$，x₁x₂=$\frac{12}{1+4{k}^{2}}$．
∵∠AOB为钝角（其中O为坐标原点），
∴$\overrightarrow{OA}•\overrightarrow{OB}$=x₁x₂+y₁y₂=x₁x₂+（kx₁+2）（kx₂+2）＜0，
即k²x₁x₂+2k（x₁+x₂）+4＜0，
∴k²•$\frac{12}{1+4{k}^{2}}$+2k•$\frac{-16k}{1+4{k}^{2}}$+4＜0，
化为：k²＞1，与$k＜-\frac{\sqrt{3}}{2}$或k$＞\frac{\sqrt{3}}{2}$联立，
解得k＞1或k＜-1．（不经过点（±2，0））
∴直线l的斜率k的取值范围是（-∞，-1）∪（1，+∞）．

点评 本题考查了椭圆的标准方程及其性质、不等式的解法、数量积运算性质，考查了推理能力与计算能力，属于难题．