Question

4．在△ABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、c，且$\frac{2b-a}{cosA}=\frac{c}{cosC}$．
（Ⅰ）求角C的值；
（Ⅱ）若BC=2$\sqrt{2}$，BC边上的中线AM=$\sqrt{26}$，求AB．

Answer 1

分析 （Ⅰ）由正弦定理，两角和的正弦函数公式化简已知等式可得2sinBcosC=sinB，结合sinB≠0，可求cosC=$\frac{1}{2}$，又C为三角形内角，即可得解C的值．
（Ⅱ）由已知及余弦定理可得AC²-$\sqrt{2}$AC-24=0，解得AC，进而在△ABC中，由余弦定理，可求AB的值．

解答 （本题满分为12分）
解：（Ⅰ）因为$\frac{2b-a}{cosA}=\frac{c}{cosC}$，
所以，由正弦定理，得$\frac{2sinB-sinA}{cosA}$=$\frac{sinC}{cosC}$，…（2分）
即2sinBcosC=sinAcosC+cosAsinC=sinB，
因为sinB≠0，
所以cosC=$\frac{1}{2}$，…（5分）
因为C为三角形内角，
所以C=$\frac{π}{3}$．…（6分）
（Ⅱ）在△AMC中，CM=$\sqrt{2}$，AM=$\sqrt{26}$，C=$\frac{π}{3}$，
由余弦定理，得26=AC²+2-2×$\sqrt{2}$ACcos$\frac{π}{3}$，
即AC²-$\sqrt{2}$AC-24=0，…（8分）
解得AC=4$\sqrt{2}$（舍去AC=-3$\sqrt{2}$），…（10分）
在△ABC中，由余弦定理，得AB²=（4$\sqrt{2}$）²+（2$\sqrt{2}$）²-2×$4\sqrt{2}×2\sqrt{2}$cos$\frac{π}{3}$=24，
所以AB=2$\sqrt{6}$．                                    …（12分）

点评 本题主要考查了正弦定理，两角和的正弦函数公式，余弦定理在解三角形中的应用，考查了计算能力和转化思想，属于基础题．