Question

【题目】已知椭圆的上顶点为点，右焦点为.延长交椭圆于点，且满足.

（1）试求椭圆的标准方程；

（2）过点作与轴不重合的直线和椭圆交于两点，设椭圆的左顶点为点，且直线分别与直线交于两点，记直线的斜率分别为，则与之积是否为定值？若是，求出该定值；若不是，试说明理由.

Answer 1

【答案】(1) (2) 与之积为定值，且该定值是

【解析】试题分析:(1)，可得,将坐标代入求出点E,代入椭圆方程,结合焦点坐标可得椭圆方程;(2) 设，,设出直线AB的方程,与椭圆方程联立,消去y得到关于x的一元二次方程并写出韦达定理,根据三点共线得出M,N的坐标,求出与之积得出定值.

试题解析:

（1）椭圆的上顶点为，右焦点，点的坐标为.

∵，可得，

又，，

∴代入可得，

又，解得，，

即椭圆的标准方程为.

（2）设，，，，.

由题意可设直线的方程为，

联立消去，

得，

∴

根据三点共线，可得，

∴.

同理可得，

∴的坐标分别为，，

∴

.

∴与之积为定值，且该定值是.

点睛: 本题主要考查直线与圆锥曲线位置关系，所使用方法为韦达定理法：因直线的方程是一次的，圆锥曲线的方程是二次的，故直线与圆锥曲线的问题常转化为方程组关系问题，最终转化为一元二次方程问题，故用韦达定理及判别式是解决圆锥曲线问题的重点方法之一，尤其是弦中点问题，弦长问题，可用韦达定理直接解决，但应注意不要忽视判别式的作用．