Question

若椭圆E₁：

x2

a12

+

y2

b12

=1和椭圆E₂：

x2

a22

+

y2

b22

=1满足

a1

a2

=

b1

b2

=m（m＞0），则称这两个椭圆相似，m称为其相似比．
（1）求经过点（2，

6

），且与椭圆

x2

4

+

y2

2

=1相似的椭圆方程．
（2）设过原点的一条射线l分别与（1）中的两个椭圆交于A、B两点（其中点A在线段OB上），求|OA|+

1

|OB|

的最大值和最小值．

Answer 1

考点：直线与圆锥曲线的综合问题

专题：圆锥曲线中的最值与范围问题

分析：（1）设所求的椭圆方程为

x2

a2

+

y2

b2

=1，由题意得

2 a = 2 b 4 a2 + 6 b2 =1

，由此能求出椭圆方程．
（2）当射线与y轴重合时，|OA|+

1

|OB|

=

5 2

4

；当射线不与坐标轴重合时，设其方程为y=kx（k≥0，x＞0），设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），由已知条件推导出|OA|+

1

|OB|

=

2 k2+1

1+2k2

+

1+2k2

4 k2+1

，由此能求出|OA|+

1

|OB|

的最大值和最小值．

解答： 解：（1）设所求的椭圆方程为

x2

a2

+

y2

b2

=1，
则由题意得

2 a = 2 b 4 a2 + 6 b2 =1

，解得

a2=16 b2=8

，…（3分）
∴所要求的椭圆方程为

x2

16

+

y2

8

=1．…（5分）
（2）①当射线与y轴重合时，
|OA|+

1

|OB|

=

2

+

1

2 2

=

5 2

4

．…（6分）
②当射线不与坐标轴重合时，
由椭圆的对称性，我们仅考察A、B在第一象限的情形．
设其方程为y=kx（k≥0，x＞0），设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
由

y=kx x2 4 + y2 2 =1

，解得

x 2 1 = 4 1+2k2 y 2 1 = 4k2 1+2k2

，|OA|=

2 k2+1

1+2k2

，…（7分）
由

y=kx x2 16 + y2 8 =1

，解得

x 2 1 = 16 1+2k2 y 2 1 = 16k2 1+2k2

，|OB|=

4 k2+1

1+2k2

，…（8分）
|OA|+

1

|OB|

=

2 k2+1

1+2k2

+

1+2k2

4 k2+1

，
令t=

2 k2+1

1+2k2

，则由t=

2 k2+1

1+2k2

=

4k2+4 1+2k2

=

2+ 2 1+2k2

，
知

2

＜t≤2，…（10分）
|OA|+

1

|OB|

=t+

1

2t

，
记f(t)=t+

1

2t

，则f（t）在(

2

，2]上是增函数，
∴f(

2

)＜f(t)≤f(2)，…（12分）
∴

5

4

2

＜|OA|+

1

|OB|

≤

9

4

，
由①②知，|OA|+

1

|OB|

的最大值为

9

4

，
|OA|+

1

|OB|

的最小值为

5 2

4

．…（13分）

点评：本题考查椭圆方程的求法，考查两线段和的最大值和最小值的求法，解题时要认真审题，注意换元法和函数的单调性的合理运用．