Question

椭圆C：

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）的左、右焦点分别是F₁，F₂，离心率为

3

2

，过F₁且垂直于x轴的直线被椭圆C截得的线段长为1．
（1）求椭圆C的方程；
（2）点P是椭圆C上除长轴、短轴端点外的任一点，过点P作直线l，使得l与椭圆C有且只有一个公共点，设l与y轴的交点为A，过点P作与l垂直的直线m，设m与y轴的交点为B，求证：△PAB的外接圆经过定点．

Answer 1

考点：直线与圆锥曲线的综合问题

专题：圆锥曲线中的最值与范围问题

分析：（1）将x=-c代入椭圆方程

x2

a2

+

y2

b2

=1，得y=±

b2

a

．由题意知2

b2

a

=1，e=

c

a

=

3

2

，由此能求出椭圆C的方程．
（2）设P（x₀，y₀）（y₀≠0），直线l的方程为y-y₀=k（x-x₀）．联立

y=kx+y0-kx0 x2 4 +y2=1

，得（1+4k²）x²+8（ky₀-k²x₀）x+4（y02-2kx₀y₀+k²x02-1）=0，由此能证明△PAB的外接圆经过定点．

解答： （1）解：由于c²=a²-b²，
将x=-c代入椭圆方程

x2

a2

+

y2

b2

=1，得y=±

b2

a

．
由题意知2

b2

a

=1，即a=2b²，
又e=

c

a

=

3

2

，∴a=2，b=1．
∴椭圆C的方程为

x2

4

+y2=1．
（2）证明：设P（x₀，y₀）（y₀≠0），
则直线l的方程为y-y₀=k（x-x₀）．
联立

y=kx+y0-kx0 x2 4 +y2=1

，
整理得（1+4k²）x²+8（ky₀-k²x₀）x+4（y02-2kx₀y₀+k²x02-1）=0．
由题意△=0，即（4-x02）k²+2x₀y₀k+1-y02=0．
又

x 2 0

4

+

y

2 0

=1，∴16y02k²+8x₀y₀k+x02=0，∴k=-

x0

4y0

．
所以直线l方程为

x0x

4

+y0y=1，令x=0，解得点A(0，

1

y0

)，
又直线m方程为y=

4y0

x0

x-3y0，令x=0，解得点B（0，-3y₀），
△PAB的外接圆方程为以AB为直径的圆方程，即x2+(y-

1

y0

)(y+3y0)=0．
整理得：x2+y2-3+y(3y0-

1

y0

)=0，分别令

x2+y2-3=0 y=0

，
解得圆过定点(±

3

，0)．
∴△PAB的外接圆经过定点（±

3

，0）．

点评：本题考查椭圆方程的求法，考查三角形的外接圆过定点的证明，解题时要认真审题，注意直线与椭圆的位置关系的灵活运用．