Question

如图，在四棱锥S-ABCD中，地面ABCD为矩形，侧面SAD为边长2的正三角形，且面SAD⊥面ABCD．AB=

2

，E、F分别为AD、SC的中点；
（1）求证：BD⊥SC；
（2）求四面体EFCB的体积．

Answer 1

考点：棱柱、棱锥、棱台的体积

专题：立体几何

分析：（1）要证先线线垂直，只需要证明线面垂直，需要证明线线垂直和面面垂直．
（2）因为V_F-EBD=

1

2

V_S-EBC，只要求出V_S-EBC，根据体积公式，分别求出底面积和高即可．

解答： （1）证明：连接BD，设BD∩CE=O

易证：△CDE∽△BCD
∴∠DBC=∠ECD
∵∠DBC+∠BDC=90°
∴∠ECD+∠BDC=90°
∴∠COD=90°
∴BD⊥CE
∵△SAD为正三角形，E为AD中点
∴SE⊥AD
又∵面SAD⊥面ABCD，且面SAD∩面ABCD=AD
∴SE⊥面ABCD
∵BD?面ABCD
∴SE⊥BD
∵BD⊥CE，SE⊥BD，CE∩SE=E，
∴BD⊥面SEC  SC?面SEC
∴BD⊥SC
（2）解：∵F为SC中点
∴V_F-EBD=

1

2

V_S-EBC
连接SE，面SAD⊥面ABCD
∵△SAD为正三角形
∴SE⊥AD又
∵面SAD⊥面ABCD
∴SE⊥面ABCD   SE=

3

    S_△EBC=

1

2

×2×

2

=

2

∴V_F-EBD=

1

2

V_S-EBD=

1

2

×

1

3

×

2

×

3

=

6

6

点评：本题以四棱锥为载体，考查了面面、线面、线线垂直，考查三棱锥的体积，解题的关键是正确运用线面垂直，同时考查学生转化问题的能力．