Question

函数f（x）=Asin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0，0＜φ＜

π

2

）在一个周期内的图象如图所示，P是图象的最髙点，Q是图象的最低点，M是线段PQ与x轴的交点，且cos∠POM=

5

5

，|OP|=

5

，|PQ|=4

2

（Ⅰ）求函数y=f（x）的解析式；
（Ⅱ）将函数y=f（x）的图象向右平移2个单位后得到函数y=g（x）的图象，试求函数h（x）=f（x）•g（x）图象的对称轴方程．

Answer 1

考点：余弦定理,函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换

专题：三角函数的求值

分析：（Ⅰ）设P（x，y），根据cos∠POM的值求出sin∠POM的值，以及|OP|的长，利用任意角的三角函数定义求出x与y的值，确定出P坐标，得到A的值，由三角函数性质得到P，Q关于M对称，求出|PM|的长，设|OM|=m，利用余弦定理列出关系式求出m的值，确定出M坐标，进而求出函数的最小正周期，确定出ω的值，即可确定出函数y=f（x）的解析式；
（Ⅱ）由y=f（x）利用平移规律得到y=g（x）解析式，进而确定出h（x）解析式，利用余弦函数的对称性即可求出h（x）对称轴方程．

解答： 解：（Ⅰ）设P（x，y），由cos∠POM=

5

5

，得到sin∠POM=

2 5

5

，且|OP|=

5

，
∴

y |OP| =sin∠POM x |OP| =cos∠POM

，
解得：

x=1 y=2

，
∴P（1，2），即A=2，
由三角函数性质得到P，Q关于点M对称，
∴|PM|=2

2

，
设|OM|=m，由余弦定理得：|OM|²+|OP|²-2|OM||OP|cos∠POM=|PM|²，
即m²-2m-3=0，
解得：m=3或m=-1（舍去），即M=（3，0），
∴函数f（x）的最小正周期T=4×（3-1）=8，即

2π

ω

=8，
∴ω=

π

4

，
将P（1，2）代入函数f（x）=2sin（

π

4

x+φ），得：sin（

π

4

+φ）=1，
∵0＜φ＜

π

2

，∴

π

4

＜

π

4

+φ＜

3π

4

，
∴

π

4

+φ=

π

2

，即φ=

π

4

，
则函数y=f（x）的解析式为2sin（

π

4

x+

π

4

）；
（Ⅱ）∵函数y=f（x）的图象向右平移2个单位后得到函数y=g（x）的图象，
∴y=g（x）=f（x-2）=2sin（

π

4

x-

π

4

），
∴h（x）=4sin（

π

4

x+

π

4

）sin（

π

4

x-

π

4

）=2（sin²

π

4

x-cos²

π

4

x）=-2cos

π

2

x，
令

π

2

x=kπ（k∈Z），得到x=2k（k∈Z），
则函数h（x）的对称轴方程是x=2k（k∈Z）．

点评：此题考查了余弦定理，任意角的三角函数定义，三角函数的周期性及其求法，以及平移规律，熟练掌握定理及公式是解本题的关键．