Question

已知椭圆C：

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）的离心率为e=

2

2

，椭圆上的点P与两个焦点F₁，F₂构成的三角形的最大面积为1．
（1）求椭圆的方程．
（2）过圆M：x²+y²=r²（r＞0）外一点P（x₀，y₀）作圆M的两条切线PA，PB（且点分别为A，B），则直线AB的方程为x₀x+y₀y=r²，类比此结论，过点Q（3，1）作椭圆C的两条切线QD、QE（切点分别为D、E），写出直线DE的方程，并予以证明．

Answer 1

考点：直线与圆锥曲线的综合问题

专题：圆锥曲线中的最值与范围问题

分析：（1）由已知条件推导出

c a = 2 2 bc=1 a2=b2+c2

，由此能求出椭圆C的方程．
（2）设切点为D（x₁，y₁），E（x₂，y₂），则切线方程为x₁x+2y₁y=2，x₂x+2y₂y=2，由已知条件推导出D（x₁，y₁），E（x₂，y₂），都在直线2x+2y-2=0上．

解答： （1）解：∵椭圆C：

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）的离心率为e=

2

2

，
椭圆上的点P与两个焦点F₁，F₂构成的三角形的最大面积为1，
∴

c a = 2 2 bc=1 a2=b2+c2

，解得a=

2

，b=c=1，
∴椭圆C的方程为

x2

2

+y2=1．
（2）解：直线DE的方程为3x+2y-2=0．
证明：设切点为D（x₁，y₁），E（x₂，y₂），
则切线方程为x₁x+2y₁y=2，x₂x+2y₂y=2，
∵两条切线都过点Q（3，1），
∴3x₁+2y₁=2，3x₂+2y₂=2，
∴D（x₁，y₁），E（x₂，y₂），都在直线3x+2y=2上，
∴直线DE的方程为3x+2y-2=0．

点评：本题考查椭圆方程的求法，考查直线方程的求法，解题时要认真审题，注意椭圆的切线方程的合理运用．