Question

已知平面向量

a

=（cosφ，sinφ），b=（cosx，sinx），其中0＜φ＜π，且函数f（x）=（

a

•

b

）cosx+sin（φ-x）sinx的图象过点（

π

6

，1）．
（Ⅰ）求φ的值；
（Ⅱ）将函数y=f（x）图象向右平移

π

6

，得到函数y=g（x）的图象，求函数y=g（x）递减区间．

Answer 1

考点：三角函数中的恒等变换应用,平面向量数量积的运算,函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换

专题：常规题型,三角函数的图像与性质

分析：（Ⅰ）代入向量数量积的坐标运算，利用和差公式化简，代入点（

π

6

，1），根据φ的范围求出φ的值；（Ⅱ）先根据图象平移求出g（x）的解析式，然后结合余弦函数的单调性求单调区间．

解答： 解：f（x）=（cosφcosx+sinφsinx）cosx+sin（φ-x）sinx
=cos（φ-x）cosx+sin（φ-x）sinx
=cos（φ-2x）
把点（

π

6

，1）代入得，cos（φ-2×

π

6

）=1
解得：φ=2kπ+

π

3

，
又∵0＜φ＜π，∴φ=

π

3

．
（Ⅱ）将函数y=f（x）图象向右平移

π

6

，得到函数y=cos[2（x-

π

6

）-

π

3

]=cos（2x-

2π

3

）的图象．
∴g（x）=cos（2x-

2π

3

），
由2kπ≤2x-

2π

3

≤2kπ+π，得kπ+

π

3

≤x≤kπ+

5π

6

（k∈Z），
∴函数y=g（x）递减区间为[kπ+

π

3

，kπ+

5π

6

]（k∈Z）．

点评：本题考查了向量的数量积、三角变换与三角函数的图象与性质，解题的关键是利用公式化简，图象平移时左加右减，在自变量x上加上或减去一个常数．