Question

已知△ABC是锐角三角形，且sin（B-

π

6

）cos（B-

π

3

）=

1

2

．
（Ⅰ）求角B的值；
（Ⅱ）求tanAtanC的最小值．

Answer 1

考点：三角函数中的恒等变换应用,同角三角函数基本关系的运用,两角和与差的正弦函数

专题：计算题,三角函数的求值

分析：（Ⅰ）利用两角差的正余弦公式展开，结合同角三角函数基本关系式可求出cosB，然后根据△ABC是锐角三角形，求出B；（Ⅱ）根据内角和定理求出A+C，利用两角和的正切公式求tan（A+C），得到关于tanA，tanC和tanAtanC的关系式，然后利用基本不等式求最值．

解答： 解：（Ⅰ）由sin（B-

π

6

）cos（B-

π

3

）=

1

2

，且B为锐角，
变形得：（sinBcos

π

6

-cosBsin

π

6

）（cosBcos

π

3

+sinBsin

π

3

）
=（

3

2

sinB-

1

2

cosB）（

1

2

cosB+

3

2

sinB）
=

3

4

sin²B-

1

4

cos²B=

3

4

（1-cos²B）-

1

4

cos²B
=

3

4

-cos²B=

1

2

，
整理得：cos²B=

1

4

，即cosB=

1

2

，
则B=

π

3

；
（Ⅱ）∵B=

π

3

，∴A+C=

2π

3

，
又△ABC是锐角三角形，所以tanA＞0，tanC＞0，
而tan（A+C）=

tanA+tanC

1-tanAtanC

=-

3

，
所以

3

tanAtanC-

3

=tanA+tanC≥2

tanAtanC

，
即

3

tanAtanC-

3

≥2

tanAtanC

，
得

tanAtanC

≥

3

或

tanAtanC

≤-

3

3

（舍），
∴tanAtanC≥3，等号仅当tanA=tanC=

3

，即A=C=

π

3

时成立．
∴tanAtanC的最小值为3．

点评：本题考查了三角恒等变换及求最值问题，综合性较强．解题的关键是明确变形的方向，选择恰当的公式对式子进行适当的变形，在求最值时可以利用基本不等式，注意等号成立的条件．