Question

已知点F是椭圆

x2

1+a2

+y2=1（a＞0）的右焦点，动点P到点F的距离等于到直线x=-a的距离．
（1）求点P的轨迹C的方程；
（2）设过点F任作一直线与点P的轨迹交于A、B两点，直线OA、OB与直线x=-a分别交于点S、T（O为坐标原点），试判断

FS

•

FT

是否为定值？若是，求出这个定值；若不是，请说明理由．

Answer 1

考点：直线与圆锥曲线的综合问题

专题：圆锥曲线中的最值与范围问题

分析：（1）由已和条件推导出点P的轨迹C是以点F为焦点、直线x=-a为准线的抛物线，由此能求出C的方程．
（2）设直线AB的方程为x=ty+a，A(

y12

4a

， y1)、B(

y22

4a

， y2)，由已知条件推导出

FS

•

FT

=4a2+

16a4

y1y2

．由

x=ty+a y2=4ax

，得y²-4aty-4a²=0，由此能求出

FS

•

FT

的值是定值0．

解答： 解：（1）∵椭圆

x2

1+a2

+y2=1右焦点F的坐标为（a，0），…（1分）
由抛物线定义知，
点P的轨迹C是以点F为焦点、直线x=-a为准线的抛物线，…（3分）
∴C的方程为y²=4ax．…（5分）
（2）设直线AB的方程为x=ty+a，A(

y12

4a

， y1)、B(

y22

4a

， y2)，
则lOA：y=

4a

y1

x，lOB：y=

4a

y2

x．…（6分）
由

y= 4a y1 x x=-a

，得S(-a， -

4a2

y1

)，
同理得T(-a， -

4a2

y2

)．…（8分）
∴

FS

=(-2a， -

4a2

y1

)，

FT

=(-2a， -

4a2

y2

)，
则

FS

•

FT

=4a2+

16a4

y1y2

．…（9分）
由

x=ty+a y2=4ax

，得y²-4aty-4a²=0，∴y1y2=-4a2．…（11分）
则

FS

•

FT

=4a2+

16a4

(-4a2)

=4a2-4a2=0．…（13分）
∴

FS

•

FT

的值是定值，且定值为0．…（14分）

点评：本题考查点的轨迹方程的求法，考查向量的数量积是否为定值的判断与求法，解题时要认真审题，注意抛物线与直线的位置关系的灵活运用．