如图.设椭圆C:x2a2+y2b2=1的左.右焦点分别为F1.F2.上顶点为A.在x轴负半轴上有一点B.满足BF1=F1F2.且AB•AF2=0．(1)若过A.B.F2三点的圆恰好与直线l1:x-3y-3=0相切.求椭圆C的方程,的条件下.过右焦点F2作斜率为k的直线l与椭圆C交于M.N两点.在x轴上是否存在点P(m.0)使得以PM.PN为邻边的平行四边形是菱形.如果� 题目和参考答案——青夏教育精英家教网—

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如图，设椭圆C：

=1（a＞b＞0）的左、右焦点分别为F₁，F₂，上顶点为A，在x轴负半轴上有一点B，满足

BF1

F1F2

，且

•

AF2

=0．
（1）若过A、B、F₂三点的圆恰好与直线l₁：x-

y-3=0相切，求椭圆C的方程；
（2）在（1）的条件下，过右焦点F₂作斜率为k的直线l与椭圆C交于M、N两点，在x轴上是否存在点P（m，0）使得以PM、PN为邻边的平行四边形是菱形，如果存在，求出m的取值范围，如果不存在，说明理由．

考点：直线与圆锥曲线的综合问题

专题：圆锥曲线中的最值与范围问题

分析：（1）设B（x₀，0），由已知条件推导出x0=-

，b²=3c²，从而得到a=2c，再由

|-c-3|

=2c，能求出椭圆C的方程．
（2）由（1）知F₂（1，0），l：y=k（x-1），联立

y=k(x-1)

，得（3+4k²）x²-8k²x+4k²-12=0，由此利用韦达定理结合已知条件能求出存在满足题意的点P，且m的取值范围是（0，

）．

解答： 解：（1）设B（x₀，0），∵F₂（c，0），A（0，b），
∴

=(x0，-b)，

AF2

=(c，-b)，
∵

•

AF2

=0，∴cx0+b2=0，∴x0=-

，
∵

BF1

F1F2

，∴F₁为BF₂中点，
∴-

+c=-2c，b²=3c²，
从而a²=4c²，∴a=2c，
∵

•

AF2

=0，∴

⊥

AF2

，
∴△ABF₂的外接圆的圆心为F₁（-c，0），半径r=

|F₂B|=2c，
又直线l2 ：x-

y-3=0与△ABF₂的外接圆相切，
∴

|-c-3|

=2c，解得c=1，∴a=2，b=

，
∴椭圆C的方程为

=1．
（2）由（1）知F₂（1，0），l：y=k（x-1），
联立

y=k(x-1)

，得（3+4k²）x²-8k²x+4k²-12=0，
设M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），则x1+x2=

8k2

3+4k2

，
y₁+y₂=k（x₁+x₂-2），

=（x₁-m，y₁）+（x₂-m，y₂）=（x₁+x₂-2m，y₁+y₂），
∵菱形的对角线互相垂直，∴（

）•

=0，
∴（x₁+x₂-2m，y₁+y₂）•（x₂-x₁，y₂-y₁）=0，
∴（x₁+x₂-2m）（x₂-x₁）+（y₁+y₂）（y₂-y₁）=0，
∵y2 -y1=k(x2-x1)≠0，
∴（x₁+x₂-2m）+k（y₁+y₂）=0，
∴

8k2

3+4k2

-2m+k2(

8k2

3+4k2

-2)=0，
由题意知k∈R且k≠0，
∴m=

3+4k2

，
∴0＜m＜

，
∴存在满足题意的点P，且m的取值范围是（0，

）．

点评：本题考查椭圆方程的求法，考查满足条件的点的坐标是否存在的判断与求法，解题时要认真审题，注意等价转化思想和函数与方程思想的合理运用．

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