Question

已知△ABC三个顶点的坐标分别为A（3，0），B（0，3），C（cosα，sinα），
（Ⅰ）若

AC

•

BC

=-1，求sin（α+

5π

4

）的值；
（Ⅱ）若|

OA

+

OC

|=

13

，且α∈（0，π），求

OB

与

OC

的夹角；
（Ⅲ）求△ABC面积的最大值和最小值．

Answer 1

考点：平面向量数量积的运算

专题：综合题,三角函数的图像与性质,平面向量及应用

分析：（Ⅰ）表示出

AC

=（cosα-3，sinα），

BC

=（cosα，sinα-3），由数量积运算可求cosα+sinα=

2

3

，进而得sin（α+

π

4

）=

2

3

，再由诱导公式可得答案；
（Ⅱ）由|

OA

+

OC

|=

13

，得（3+cosα）²+sin²α=13，于是得cosα=

1

2

，进而求得α，由向量夹角公式可求；
（Ⅲ）易求直线AB的方程为x+y-3=0，|AB|=3

2

，由点到直线的距离公式可得点C到直线AB的距离d，进而可得其范围，由三角函数的有界性可求面积范围；

解答： 解：（Ⅰ）∵

AC

=（cosα-3，sinα），

BC

=（cosα，sinα-3），
∴

AC

•

BC

=（cosα-3）cosα+sinα（sinα-3）=-1，
得cos²α+sin²α-3（cosα+sinα）=-1，
∴cosα+sinα=

2

3

，∴sin（α+

π

4

）=

2

3

，
∴sin(α+

5π

4

)=-sin(x+

π

4

)=-

2

3

．
（Ⅱ）∵|

OA

+

OC

|=

13

，∴（3+cosα）²+sin²α=13，
∴cosα=

1

2

，
∵α∈（0，π），∴α=

π

3

，sinα=

3

2

，∴C（

1

2

，

3

2

），
∴

OB

•

OC

=

3 3

2

，
设

OB

与

OC

的夹角为θ，则cosθ=

OB • OC

| OB || OC |

=

3 3 2

3

=

3

2

，
∵θ∈（0，π），∴θ=

π

6

即为所求．
（Ⅲ）直线AB的方程为x+y-3=0，|AB|=3

2

，
点C到直线AB的距离d=

|cosα+sinα-3|

2

=

3- 2 sin(α+ π 4 )

2

，
∴

3- 2

2

≤d≤

3+ 2

2

，
S△ABC=

1

2

d|AB|=

3

2

d，∴

9-3 2

2

≤S≤

9+3 2

2

，
∴△ABC面积的最大值和最小值分别为

9-3 2

2

，和

9+3 2

2

．

点评：本题考查三角恒等变换、点到直线距离公式、平面向量数量积运算等知识，涉及知识点较多，但都很基本，熟练掌握有关知识是解题关键．