Question

已知集合M={（x，y）丨y=f（x）}，若对于任意（x₁，y₁）∈M，存在（x₂，y₂）∈M，使得x₁y₁+x₂y₂=0成立，则称集合M是“垂直对点集”．给出下列五个集合：
①M={（x，y）丨y=

1

x

}；
②M={（x，y）丨y=（x-1）²}；
③M={（x，y）丨y=sinx+1}；
④M={（x，y）丨y=log₃x}；
⑤M={（x，y）丨y=e^x-2}．
其中是“垂直对点集”的所有序号是

 

．

Answer 1

考点：元素与集合关系的判断

专题：新定义,集合

分析：对于①，利用渐近线互相垂直，判断其正误即可．
对于②，画出图象，说明满足“垂直对点集”的定义，即可判断正误；
对于③，画出函数图象，说明满足“垂直对点集”的定义，即可判断正误；
对于④，画出函数图象，取一个特殊点即能说明不满足“垂直对点集”定义；
对于⑤，画图分析得到该集合满足“垂直对点集”的概念．

解答： 解：对于①：函数y=

1

x

表示它是以轴，轴为渐近线的双曲线，渐近线的夹角为90°，
故在同一支上不存在对于任意（x₁，y₁）∈M，存在（x₂，y₂）∈M，使得x₁y₁+x₂y₂=0成立，
所以，该集合不是“垂直对点集”；
对于②，函数y=（x-1）²图象如下图所示：

通过图象，如图所示，存在（0，1）与（1，0）符合题意，
所以，该集合满足满足“垂直对点集”的概念，故②为正确的；
对于③：函数y=sinx+1的图象如下图：

存在两点（0，1）与（

3π

2

，0），满足x₁y₁+x₂y₂=0成立，
对于④：函数y=log₃x的图象如下：

无法找到两点，满足x₁y₁+x₂y₂=0成立，
对于⑤：函数y=e^x-2的图象如下：

取（0，-1）和点（ln2，0），满足满足x₁y₁+x₂y₂=0成立，符合题意；
故答案为：②③⑤．

点评：本题属于信息信息给予题，考查了常见函数的图象，掌握基本的函数概念和图象是解题的关键，属于中档题．