Question

已知函数f（x）=（log₂x）²+4log₂x+m，x∈[

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，4]，m为常数．
（Ⅰ）设函数f（x）存在大于1的零点，求实数m的取值范围；
（Ⅱ）设函数f（x）有两个互异的零点α，β，求m的取值范围，并求α•β的值．

Answer 1

考点：二次函数在闭区间上的最值

专题：函数的性质及应用

分析：（Ⅰ）转化g（t）=t²+4t+m，t∈[-3，2]g（t）在t∈（0，2]时有零点g（t）表示的二次函数开口向上，对称轴为t₀=-2，根据二次函数求解得出即

g(0)＜0 g(2)≥0

⇒

m＜0 12+m≥0

即可．
（Ⅱ）根据二次函数得出

g(-2)＜0 g(-3)≥0

⇒

-4+m＜0 -3+m≥0

⇒3≤m＜4，运用韦达定理求解即可，方程g（t）=t²+4t+m=0的两根t₁+t₂=-4，即再运用对数求解即可，log2α+log2β=-4⇒log2αβ=-4⇒αβ=

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，

解答： 解：（Ⅰ）函数f（x）=（log₂x）²+4log₂x+m，x∈[

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，4]，m为常数．
令t=log₂x，
∵x∈[

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，4]，∴t∈[-3，2]
则 由已知，若f（x）存在大于1的零点，即g（t）在t∈（0，2]时有零点g（t）表示的二次函数开口向上，对称轴为t₀=-2，
所以若g（t）在t∈（0，2]时有零点，即

g(0)＜0 g(2)≥0

⇒

m＜0 12+m≥0

⇒-12≤m＜0
即m的取值范围为[-12，0，
（Ⅱ）若f（x）有两个相异的零点，
即g（t）在t∈[-3，2]
时有两个相异零点
∴g（t）表示的二次函数开口向上，对称轴为t₀=-2
∴

g(-2)＜0 g(-3)≥0

⇒

-4+m＜0 -3+m≥0

⇒3≤m＜4
即m的取值范围为[3，4），
此时，方程g（t）=t²+4t+m=0的两根t₁+t₂=-4
即log2α+log2β=-4⇒log2αβ=-4⇒αβ=

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，

点评：本题综合考查了函数的性质，不等式，方程，函数的零点的求解，属于中档题，关键是确定相应的函数解析式，以及范围．