Question

7．若直线y=ax+b是函数f（x）=lnx-$\frac{1}{x}$图象的切线，则a+b的最小值为-1．

Answer 1

分析 首先设切点（m，lnm-$\frac{1}{m}$），利用导数求出x=m点处斜率，故有 a=$\frac{1}{m}+\frac{1}{{m}^{2}}$，lnm-$\frac{1}{m}$=ma+b；
构造新函数h（t）=-lnt-t+t²-1，求h（t）的最小值即可；

解答 解：设切点（m，lnm-$\frac{1}{m}$），函数f（x）=lnx-$\frac{1}{x}$的导数为：
f'（x）=$\frac{1}{x}+\frac{1}{{x}^{2}}$，
即有切线的斜率$\frac{1}{m}+\frac{1}{{m}^{2}}$，
若直线g（x）=ax+b是函数f（x）=lnx-$\frac{1}{x}$图象的切线，则 a=$\frac{1}{m}+\frac{1}{{m}^{2}}$，lnm-$\frac{1}{m}$=ma+b，
即有：b=lnm-$\frac{2}{m}$-1，
a+b=lnm-$\frac{1}{m}$+$\frac{1}{{m}^{2}}$-1，
令$\frac{1}{m}$=t＞0，则a+b=-lnt-t+t²-1，
令h（t）=-lnt-t+t²-1，
则h'（t）=-$\frac{1}{t}$+2t-1=$\frac{（2t+1）（2t-1）}{t}$
当t∈（0，1）时，h'（t）＜0，h（t）在（0，1）上是单调递减；
当t∈（1，+∞）时，h（t）＞0，h（t）在（1，+∞）上是单调递增；
即有t=1时，h（t）取得极小值，也为最小值．
故a+b≥h（1）=-1
故答案为：-1

点评 本题主要考查了利用导数求切线斜率、构造新函数求最小值，属中等题．