Question

17．设函数f（x）=$\frac{x}{x+3}$（x＞0），观察：f₁（x）=f（x）=$\frac{x}{x+3}$，f₂（x）=f（f₁（x））=$\frac{x}{4x+9}$，
f₃（x）=f（f₂（x））=$\frac{x}{13x+27}$，f₄（x）=f（f₃（x））=$\frac{x}{40x+81}$…，根据以上事实，由归纳推理可得：当n∈N^*，n≥2时，f_n（x）=f （f_n-1（x））=$\frac{x}{{\frac{{{3^n}-1}}{2}x+{3^n}}}$．

Answer 1

分析 由题目给出的四个等式发现，每一个等式的右边都是一个单项式，分子都是x，分母是$\frac{{3}^{n}-1}{2}x+{3}^{n}$，即可得出结论．

解答 解：由题目给出的四个等式发现，每一个等式的右边都是一个单项式，分子都是x，分母是$\frac{{3}^{n}-1}{2}x+{3}^{n}$，据此可以归纳为：f_n（x）=f（f_n-1（x））=$\frac{x}{{\frac{{{3^n}-1}}{2}x+{3^n}}}$．
故答案为$\frac{x}{{\frac{{{3^n}-1}}{2}x+{3^n}}}$．

点评 本题考查了归纳推理，归纳推理是根据已有的事实，经过观察、分析、比较、联想，再进行归纳类比，然后提出猜想的推理，此题是基础题．