Question

16．已知命题p：?x∈[-1，2]，函数f（x）=x²-x的值大于0，若p∨q是真命题，则命题q可以是（　　）

• A． ?x∈（-1，1）使得cosx＜$\frac{1}{2}$
• B． “-3＜m＜0”是“函数f（x）=x+log₂x+m在区间（$\frac{1}{2}$，2）上有零点”的必要不充分条件
• C． x=$\frac{π}{6}$是曲线f（x）=$\sqrt{3}$sin2x+cos2x的一条对称轴
• D． 若x∈（0，2），则在曲线f（x）=e^x（x-2）上任意一点处的切线的斜率不小于-$\frac{1}{e}$

Answer 1

分析 对于命题p：函数f（x）=x²-x=$（x-\frac{1}{2}）^{2}$-$\frac{1}{4}$，当x=$\frac{1}{2}$时，取得最小值，$f（\frac{1}{2}）$=$-\frac{1}{4}$＜0，因此命题p是假命题．若p∨q是真命题，则命题q必须是真命题．
A．?x∈（-1，1），可得cosx∈（cos1，1]，而cos1＞$cos\frac{π}{3}$=$\frac{1}{2}$，即可判断出真假；
B．函数f（x）=x+log₂x+m在区间（$\frac{1}{2}$，2）上单调递增，若函数f（x）在此区间上有零点，则$f（\frac{1}{2}）•f（2）$=$（\frac{1}{2}-1+m）（2+1+m）$＜0，解得m范围，即可判断出真假；
C．f（x）=2$sin（2x+\frac{π}{6}）$，当x=$\frac{π}{6}$时，$sin（2×\frac{π}{6}+\frac{π}{6}）$=1，即可判断出真假；
D．f′（x）=e^x+e^x（x-2）=e^x（x-1），当x∈（0，2）时，f′（x）＞f′（0）=-1，几节课判断出真假．

解答 解：对于命题p：函数f（x）=x²-x=$（x-\frac{1}{2}）^{2}$-$\frac{1}{4}$，则函数f（x）在$[-1，\frac{1}{2}）$上单调递减；在$（\frac{1}{2}，2]$上单调递增．∴当x=$\frac{1}{2}$时，取得最小值，$f（\frac{1}{2}）$=$-\frac{1}{4}$＜0，因此命题p是假命题．若p∨q是真命题，则命题q必须是真命题．
A．?x∈（-1，1），cosx∈（cos1，1]，而cos1＞$cos\frac{π}{3}$=$\frac{1}{2}$，因此A是假命题；
B．函数f（x）=x+log₂x+m在区间（$\frac{1}{2}$，2）上单调递增，若函数f（x）在此区间上有零点，则$f（\frac{1}{2}）•f（2）$=$（\frac{1}{2}-1+m）（2+1+m）$＜0，解得$-3＜m＜\frac{1}{2}$，因此“-3＜m＜0”是“函数f（x）=x+log₂x+m在区间（$\frac{1}{2}$，2）上有零点”的充分不必要条件，因此是假命题；
C．f（x）=$\sqrt{3}$sin2x+cos2x=2$sin（2x+\frac{π}{6}）$，当x=$\frac{π}{6}$时，$sin（2×\frac{π}{6}+\frac{π}{6}）$=$sin\frac{π}{2}$=1，因此x=$\frac{π}{6}$是函数f（x）的一条对称轴，是真命题；
D．曲线f（x）=e^x（x-2），f′（x）=e^x+e^x（x-2）=e^x（x-1），当x∈（0，2）时，f′（x）＞f′（0）=-1，因此D是假命题．
故选：C．

点评 本题考查了复合命题的判断方法、三角函数的单调性及其对称性、函数的零点判定方法、函数的单调性、利用导数研究函数的单调性，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．