Question

8．已知a∈R，二次函数f（x）=ax²-2x-2a，设不等式f（x）＞0的解集为A，又集合B={x|$\frac{3-x}{x-1}$＞0}，若A∩B=∅，求a的取值范围．

Answer 1

分析 注意到△=4+8a²＞0，则函数有两个零点，由a的正负，确定不等式解集的形式．结合着数轴分类讨论．

解答 .解：由题意可知二次函数a≠0，
令f（x）=0解得其两根为x₁=$\frac{1+\sqrt{1+2{a}^{2}}}{a}$，x₂=$\frac{1-\sqrt{1+2{a}^{2}}}{a}$，
（i）当a＞0时，x₁＞0，x₂＜0，
A={x|x＜x₂}∪{x|x＞x₁}，则A∩B=ϕ的充要条件是x₁≥3，
即$\frac{1+\sqrt{1+2{a}^{2}}}{a}$≥3，
解得a∈（0，$\frac{6}{7}$]
（ii）当a＜0时，x₁＜0，x₂＞0，A={x|x₁＜x＜x₂}，
A∩B=ϕ的充要条件是x₂≤1，
即$\frac{1-\sqrt{1+2{a}^{2}}}{a}$≤1，
解得a∈[-2，0）
综上，使A∩B=ϕ成立的a的取值范围为[-2，0）∪（0，$\frac{6}{7}$]．

点评 在对集合的相关问题进行求解时，分类讨论时经常考查到的思想方法，另外对于一元二次不等式的解法也是一个基本的知识点，要熟练掌握