Question

17．已知函数f（a^x）=x，g（x）=2log_a（2x+2）．
（1）求f（x）的解析式；
（2）若函数F（x）=g（x）-f（x）在x∈[$\frac{1}{2}$，2]有最小值2，求a的值．

Answer 1

分析 （1）令t=a^x，则x=log_at（t＞0），即可得到所求函数的解析式；
（2）化简g（x）的解析式，由基本不等式和对数函数的单调性，计算即可得到a=4．

解答 解：（1）令t=a^x，则x=log_at（t＞0），
即有f（x）=log_ax；
（2）F（x）=g（x）-f（x）=2log_a（2x+2）-log_ax
=log_a$\frac{（2x+2）^{2}}{x}$=log_a4（x+$\frac{1}{x}$+2），
由4（x+$\frac{1}{x}$+2）≥4•（2$\sqrt{x•\frac{1}{x}}$+2）=16，
当且仅当x=1取得等号．
由题意可得a＞1，即有log_a16=2，即a²=16，
解得a=4．

点评 本题考查函数的解析式和最值的求法，考查对数函数的单调性和基本不等式的运用，属于中档题．