Question

9．已知函数f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{-{x}^{2}+6x-6，x≤2}\\{{a}^{x}-a，x＞2}\end{array}\right.$其中a＞0，a≠1，若对任意的x₁，x₂∈R，x₁≠x₂，恒有[f（x₁）-f（x₂）]（x₁-x₂）＞0，则实数a的取值范围a≥2．

Answer 1

分析 由已知可得函数f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{-{x}^{2}+6x-6，x≤2}\\{{a}^{x}-a，x＞2}\end{array}\right.$在R上为增函数，则$\left\{\begin{array}{l}a＞1\\-4+12-6≤{a}^{2}-a\end{array}\right.$，解得答案．

解答 解：若对任意的x₁，x₂∈R，x₁≠x₂，恒有[f（x₁）-f（x₂）]（x₁-x₂）＞0，
则函数f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{-{x}^{2}+6x-6，x≤2}\\{{a}^{x}-a，x＞2}\end{array}\right.$在R上为增函数，
则$\left\{\begin{array}{l}a＞1\\-4+12-6≤{a}^{2}-a\end{array}\right.$，
解得：a≥2，
故答案为：a≥2．

点评 本题考查的知识点是分段函数的应用，正确理解分段函数的单调性，是解答的关键．