Question

20．求y=3cos²x-4cosx+1，x∈[$\frac{π}{3}$，$\frac{2π}{3}$]的值域．

Answer 1

分析 求出余弦函数值，利用换元法结合二次函数的性质求解即可．

解答 解：x∈[$\frac{π}{3}$，$\frac{2π}{3}$]，cosx∈[$-\frac{1}{2}，\frac{1}{2}$]．
令cosx=t，则函数化为：y=3t²-4t+1，函数的对称轴为：t=$\frac{2}{3}$∉[$-\frac{1}{2}，\frac{1}{2}$]．
y=3t²-4t+1，在t∈[$-\frac{1}{2}，\frac{1}{2}$]是减函数，
可得y∈[$-\frac{1}{4}，\frac{15}{4}$]．
函数的值域为：[$-\frac{1}{4}，\frac{15}{4}$]．

点评 本题考查三角函数的最值，二次函数的简单性质的应用，考查计算能力．