Question

11．在钝角三角形ABC中，A，B，C的对边分别是a，b，c，B=60°，4sinC-6sinA=$\sqrt{3}$，则$\frac{c}{a}$=$\frac{17}{12}$．

Answer 1

分析 利用已知可得2$\sqrt{3}$cosA-4sinA=$\sqrt{3}$①，由sinA＞0，可得cosA＞0，即A为锐角，C为钝角，又sin²A+cos²A=1②，由①②可解得sinA，可求sinC，由正弦定理即可得解．

解答 解：∵B=60°，4sinC-6sinA=$\sqrt{3}$，
∴4sin（120°-A）-6sinA=2$\sqrt{3}$cosA-4sinA=$\sqrt{3}$①，
∵sinA＞0，故由①可得cosA＞0，即A为锐角，C必然为钝角．
又∵sin²A+cos²A=1②，
∴由①②可解得：7sin²A+2$\sqrt{3}$sinA-$\frac{9}{4}$=0．解得：sinA=$\frac{3\sqrt{3}}{14}$．
∴sinC=$\frac{\sqrt{3}+6sinA}{4}$=$\frac{4\sqrt{3}}{7}$，
∴由正弦定理可得：$\frac{c}{a}=\frac{sinC}{sinA}$=$\frac{8}{3}$．
故答案为：$\frac{8}{3}$．

点评 本题主要考查了正弦定理，两角差的正弦函数公式，同角三角函数关系式的应用，考查了计算能力，属于中档题．