Question

10．已知不等式组$\left\{\begin{array}{l}{{x}^{2}-x-2＞0}\\{2{x}^{2}+（5+2k）x+5k＜0}\end{array}\right.$的整数解只有-2，则k的范围是（　　）

• A． -3≤k＜2
• B． -2≤k≤-1
• C． -3＜k＜-1
• D． -3≤k＜0

Answer 1

分析 由x²-x-2＞0，解得x＞2或x＜-1．由2x²+（5+2k）x+5k＜0，化为（2x+5）（x+k）＜0，对k分类讨论即可得出．

解答 解：由x²-x-2＞0，解得x＞2或x＜-1．
由2x²+（5+2k）x+5k＜0，
化为（2x+5）（x+k）＜0，
当k＞$\frac{5}{2}$时，不等式的解集为$-k＜x＜-\frac{5}{2}$，此时不等式组的解集为{x|$-k＜x＜-\frac{5}{2}$}，其解集中不可能有-2，舍去．
当k=$\frac{5}{2}$时，不等式化为（2x+5）²＜0，其解集为空集，因此不等式组的解集为空集，舍去．
当k＜$\frac{5}{2}$时，不等式的解集为$-\frac{5}{2}＜x＜-k$，由于不等式组的解集中的整数解只有-2，∴-2＜-k≤3，化为-3≤k＜2，满足k＜$\frac{5}{2}$，∴-3≤k＜2．
综上可得：k的取值范围为：-3≤k＜2．
故选：A．

点评 本题考查了一元二次不等式的解法、不等式组的解法、交集的运算性质，考查了分类讨论方法、推理能力与计算能力，属于中档题．