Question

18．已知函数f（x）=x⁵+x-3在区间[1，2]内有零点，求出方程x⁵+x-3=0在区间[1，2]的一个实数解，精度为0.1．

Answer 1

分析 先证明方程x⁵+x-3=0在区间[1，2]内有唯一一个实数解，可先函数f（x）=x⁵+x-3在[1，2]内为单调函数，再结合根的存在性定理即可．求解可用二分法．

解答 解：考查函数f（x）=x⁵+x-3，
∵f（1）=-1＜0，f（2）=31＞0，
∴函数f（x）=x⁵+x-3在区间[1，2]有一个零点x．
∵函数f（x）=x⁵+x-3在（-∞，+∞）上是增函数，
∴方程x⁵+x-3=0在区间[1，2]内有唯一的实数解．
取区间[1，2]的 中点x₁=1.5，用计算器算得f（1.5）≈6.09＞0，∴x∈（1，1.5）．
同理，可得x∈（1，1.25），x∈（1.125，1.25），x∈（1.125，1.1875），x∈（1.125，1.156 25），x∈（1.125，1.1406 25）．
由于|1.1406 25-1.125|＜0.1，此时区间（1.125，1.1406 25）的两个端点精确到0.1的近似值都是1.1．

点评 函数零点存在定理，考查二分法，考查学生的计算能力，属于中档题．