Question

3．已知函数f（x）对-切实数x，y∈[-4，4]部有f（x+y）=f（x）+f（y）．且当x＞0时．f（x）＜0．又f（1）=-$\frac{2}{3}$．（1）试判定该函数的奇偶性； 
（2）证明该函数在[-4，4]上是减函数；
（3）若f（x）+f（x-3）≤-2．求实数x的取值范围．

Answer 1

分析 （1）令x=y=0，得f（0）=0，再令y=-x，即可判断该函数的奇偶性；
（2）令-4＜x₁＜x₂＜4，作差f（x₂）-f（x₁）后判断符号即可判断该函数的单调性；
（3）利用（2）中该函数的单调性与（1）中的奇偶性，可脱掉f（x）+f（x-3）≤-2中的“f”，得到关于x的不等式组，解之即可．

解答 解：（1）令x=y=0，得f（0）=0；
再令y=-x，则f（x）+f（-x）=f（x-x）=f（0）=0，
∴f（-x）=-f（x），又y=f（x）的定义域为（-1，1），
∴函数y=f（x）为奇函数；
（2）令-4＜x₁＜x₂＜4，则x₂-x₁＞0，
∵x＞0时，f（x）＜0；
∴f（x₂-x₁）＜0
又y=f（x）为奇函数，
∴f（x₂）-f（x₁）=f（x₂）+f（-x₁）=f（x₂-x₁）＜0，
∴f（x₂）＜f（x₁），
∴函数在[-4，4]上单调递减；
（3）∵f（1）=-$\frac{2}{3}$，
∴f（3）=-2，
∴f（x）+f（x-3）≤-2等价于f（2x-3）≤f（3），
∵函数在[-4，4]上是减函数，
∴3≤2x-3≤4，
∴3≤x≤3.5．

点评 本题考查抽象函数及其应用，着重考查函数奇偶性与单调性的应用，考查解不等式组的能力，属于中档题．