Question

2．已知实数x，y满足方程x²+y²-4x+1=0，求下列各式的最大值与最小值．
（1）$\frac{y-1}{x-4}$；
（2）2x+3y；
（3）x²-10x+y²-14y．

Answer 1

分析 （1）（2），设出参数，利用圆心到直线的距离小于等于半径，建立不等式，即可求最大值与最小值；（3）利用其几何意义，即可求最大值与最小值．

解答 解：x²+y²-4x+1=0，可化为（x-2）²+y²=3
（1）设$\frac{y-1}{x-4}$=t，则y-1=t（x-4），即tx-y-4t+1=0，
∴圆心到直线的距离d=$\frac{|-2t+1|}{\sqrt{{t}^{2}+1}}$≤$\sqrt{3}$，∴2-$\sqrt{6}$≤t≤2+$\sqrt{6}$，
∴$\frac{y-1}{x-4}$的最大值为2+$\sqrt{6}$，最小值为2-$\sqrt{6}$；
（2）2x+3y=m，∴圆心到直线的距离d=$\frac{|4-m|}{\sqrt{13}}$≤$\sqrt{3}$，∴4-$\sqrt{39}$≤m≤4+$\sqrt{39}$，
∴2x+3y的最大值为4+$\sqrt{39}$，最小值为4-$\sqrt{39}$；
（3）x²-10x+y²-14y=（x-5）²+（y-7）²-74．
圆心（2，0）与（5，7）的距离为$\sqrt{（2-5）^{2}+（0-7）^{2}}$=$\sqrt{58}$，
∴（x-5）²+（y-7）²的最大值为（$\sqrt{58}$+$\sqrt{3}$）²，最小值为（$\sqrt{58}$-$\sqrt{3}$）²，
∴x²-10x+y²-14y的最大值为13+2$\sqrt{174}$，最小值为13-2$\sqrt{174}$．

点评 本题考查直线与圆的位置关系，考查求最大值与最小值，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．