Question

如图，在三棱锥P-ABC中，底面ABC为等腰直角三角形，∠ACB=90°，棱PA垂直底面ABC，PA=AB=4，BD=

3

4

BP，CE=

3

4

BC，F是AB的中点．
（1）证明DE∥平面ABC；
（2）证明：BC⊥平面PAC；
（3）求四棱锥C-AFDP的体积．

Answer 1

分析：（1）根据等比例线段定理可得BC∥DE，由线面平行的判定定理可证DE∥平面ABC；
（2）由∠ACB=90°得AC⊥BC，又根据棱PA垂直底面ABC，可得PA⊥BC，利用线面垂直的判定定理可证BC⊥平面PAC；
（3）过D作DG⊥AB于F，则DG∥PA，可证DG为三棱锥D-BCF的高，又四棱锥C-AFDP的体积V=V_P-ABC-V_D-BCF，分别计算两个三棱锥的体积，作差可得答案．

解答：解：（1）证明：∵BD=

3

4

BP，CE=

3

4

BC，∴

PD

PB

=

PE

PC

，
∴DE∥BC． 
又∵DE?平面ABC，BC?平面ABC，∴DE∥平面ABC．
（2）证明：∵PA⊥平面ABC，BC?平面ABC，
∴BC⊥PA．
∵∠ACB=90°，∴BC⊥AC．
又∵PA∩AC=A，∴BC⊥平面PAC．
（3）∵△ABC为等腰直角三角形，F是AB的中点，∴FC⊥AB，FC=

1

2

AB=2，
∴S△BCF=

1

2

CF•BF=2．
过D作DG⊥AB于F，则DG∥PA，
∴DG⊥平面ABC，且DG为三棱锥D-BCF的高，
又BD=

3

4

BP，∴DG=

3

4

PA=3．
∴三棱锥D-BCF的体积为V_D-BCF=

1

3

S△BCF•DG=

1

3

×2×3=2．
又三棱锥P-ABC的体积为
VP-ABC=

1

3

S△ABC•PA=

1

3

×

1

2

AB•CF•PA=

1

3

×

1

2

×4×2×4=

16

3

．
∴四棱锥C-AFDP的体积V=V_P-ABC-V_D-BCF
=

16

3

-2=

10

3

．

点评：本题考查了用间接法求棱锥的体积，考查了线面平行与线面垂直的证明，考查了学生的空间想象能力与推理论证能力．