Question

已知函数f（x）是定义在R上的奇函数，当x≥0时，f（x）=x²-2x．
（Ⅰ）求f（x）的解析式，并画出的f（x）图象；
（Ⅱ）设g（x）=f（x）-k，利用图象讨论：当实数k为何值时，函数g（x）有一个零点？二个零点？三个零点？

Answer 1

分析：（Ⅰ）先设x＜0可得-x＞0，则f（-x）=（-x）²-2（-x）=x²+2x，由函数f（x）为奇函数可得f（x）=-f（-x），可求，结合二次函数的图象可作出f（x）的图象
（II）由g（x）=f（x）-k=0可得f（x）=k，结合函数的图象可，要求g（x）=f（x）-k的零点个数，只要结合函数的图象，判断y=f（x）与y=k的交点个数

解答：解：（Ⅰ）当x≥0时，f（x）=x²-2x．
设x＜0可得-x＞0，则f（-x）=（-x）²-2（-x）=x²+2x
∵函数f（x）为奇函数，则f（x）=-f（-x）=-x²-2x
∴f(x)=

x2-2x，x≥0 -x2-2x，x＜0

函数的图象如图所示
（II）由g（x）=f（x）-k=0可得f（x）=k
结合函数的图象可知
①当k＜-1或k＞1时，y=k与y=f（x）的图象有1个交点，即g（x）=f（x）-k有1个零点
②当k=-1或k=1时，y=k与y=f（x）有2个交点，即g（x）=f（x）-k有2个零点
③当-1＜k＜1时，y=k与y=f（x）有3个交点，即g（x）=f（x）-k有3个零点

点评：本题主要考查了利用奇函数的性质求解函数的解析式，函数的零点个数的判断，体现了数形结合思想的应用