Question

已知数列{a_n}的前n项的和s_n=n²+1，数列{b_n}中bn=

2

an+1

，其前n项的和为T_n，设c_n=T_2n+1-T_n
（1）求b_n；      
（2）判断数列{c_n}的单调性；
（3）当n≥2时，T2n+1-Tn＜

1

5

-

7

12

loga(a-1)恒成立，求a的取值范围．

Answer 1

分析：（1）利用数列中Sn与a_n关系，先求出a_n，再由b_n=

2

an+1

，求数列{b_n}的通项公式．
（2）由c_n=

1

n+1

+

1

n+2

+…+

1

2n+1

，知c_n+1-c_n=

1

2n+2

+

1

2n+3

-

1

n+1

＜0，所以{c_n}是递减数列．
（3）由题意须

1

5

-

7

12

loga(a-1)大于等于c_n的最大值，转化成对数不等式的解，求出a的取值范围．

解答：解：（1）a₁=2，a_n=S_n-S_n-1=2n-1（n≥2）．
∴b_n=

2 3 (n=1) 1 n (n≥1)

（2）∵c_n=b_n+1+b_n+2+…+b_2n+1
=

1

n+1

+

1

n+2

+…+

1

2n+1

，
∴c_n+1-c_n=

1

2n+2

+

1

2n+3

-

1

n+1

＜0，
∴{c_n}是递减数列．
（3）由题意须

1

5

-

7

12

loga(a-1)大于等于c_n的最大值
由（2）可知当n=2时，c_n取得最大值

1

3

+

1

4

+

1

5

．原不等式移向化为：

7

12

＜-

7

12

loga(a-1)，继续整理得log_a（a-1）＜-1，
由真数a-1＞0，a＞1，∴a-1＜

1

a

化成a²-a-1＜0，解得1＜a＜

1+ 5

2

．

点评：本题是函数、数列的结合，考查数列中Sn与a_n关系的应用，数列的函数性质，对数不等式，分式不等式的解．考查不等式恒成立问题、转化、计算能力．