Question

已知函数f(x)=2x-

1

2x

．
（1）若f(x)=2+

2

2x

，求x的值；
（2）若2^tf（2t）+mf（t）≥0对于任意实数t∈[1，2]恒成立，求实数m的取值范围．

Answer 1

分析：（1）由函数f(x)=2x-

1

2x

，且f(x)=2+

2

2x

，知2x-

1

2x

=2+

2

2x

，故（2^x-3）（2^x+1）=0，由此能求出x的值．
（2）当t∈[1，2]时，2t( 22t-

1

22t

 )+m( 2t-

1

2t

 )≥0，由1≤t≤2，2t-

1

2t

＞0．知2t( 2 t+

1

2 t

)+m≥0，m≥-(4t+1)．由此能求出m的取值范围．

解答：解：（1）∵函数f(x)=2x-

1

2x

，且f(x)=2+

2

2x

，
∴2x-

1

2x

=2+

2

2x

，
∴（2^x-3）（2^x+1）=0，
∴2^x=3，或2^x=-3（舍），
∴2^x=3，
∴x=log23…(8分)．
（2）当t∈[1，2]时，
2t( 22t-

1

22t

 )+m( 2t-

1

2t

 )≥0，
∵1≤t≤2，2t-

1

2t

＞0．
∴2t( 2 t+

1

2 t

)+m≥0，m≥-(4t+1)．（13分）
∵t∈[1，2]，∴-（1+2^2t）∈[-17，-5]，
故m的取值范围是[-5，+∞）．（16分）

点评：本题考查指数函数的性质和函数恒成立问题的应用，考查化归与转化的数学思想，培养学生的抽象概括能力、推理论证能力、运算求解能力和创新意识．