Question

椭圆的焦点为F₁、F₂，过点F₁作直线与椭圆相交，被椭圆截得的最短的线段MN长为

32

5

，△MF₂N的周长为20，则椭圆的离心率为

 

．

Answer 1

考点：椭圆的简单性质

专题：计算题,圆锥曲线的定义、性质与方程

分析：运用椭圆的定义，可得4a=20，解得a，再由直线垂直于x轴时，弦长最短，求出弦长，解得b，进而得到c，再由离心率公式，即可得到．

解答： 解：设椭圆方程为

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0），
则由椭圆的定义，可得，MF₁+MF₂=NF₁+NF₂=2a，
由于△MF₂N的周长为20，则4a=20，即a=5，
过点F₁作直线与椭圆相交，当直线垂直于x轴时，弦长最短，
令x=-c，代入椭圆方程，解得，y=±

b2

a

，
即有

2b2

a

=

32

5

，解得，b²=16，c²=9，
则离心率e=

c

a

=

3

5

．
故答案为：

3

5

．

点评：本题考查椭圆的方程和性质及定义，考查离心率的求法，考查运算能力，属于中档题．