Question

下列说法：
①函数f（x）=lnx+3x-6的零点只有1个且属于区间（1，2）；
②若关于x的不等式ax²+2ax+1＞0恒成立，则a∈（0，1）；
③函数y=x的图象与函数y=sinx的图象有3个不同的交点；
④已知函数f（x）=log₂

a-x

1+x

为奇函数，则实数a的值为1．
正确的有

 

．（请将你认为正确的说法的序号都写上）．

Answer 1

考点：命题的真假判断与应用

专题：函数的性质及应用,简易逻辑

分析：对于①：结合函数的单调性，利用零点存在性定理判断；
对于②：分a=0和a≠0进行讨论，a≠0时结合二次函数的图象求解；
对于③：结合图象及导数进行判断；
对于④：利用奇函数定义式，f（-x）+f（x）=0恒成立求a，注意定义域．

解答： 解：对于①：函数f（x）=lnx+3x-6[m，n]在（0，+∞）上是增函数，且f（1）=ln1+3×1-6=-3＜0，f（2）=ln2+3×2-6=ln2＞0．所以①正确；
对于②：当a=0时原不等式变形为1＞0，恒成立；当a≠0时，要使关于x的不等式ax²+2ax+1＞0恒成立，则a＞0且△=（2a）²-4a×1＜0⇒0＜a＜1，综上可得a的范围是[0，1），故②不正确；
对于③：令函数y=x-sinx，则y′=1-cosx，所以该函数在[0，+∞）上是增函数，且x=0时最小，且该函数是奇函数，所以函数y=x-sinx只有x=0一个零点，即函数y=x的图象与函数y=sinx的图象只有一个交点，故③不正确；
④由奇函数得：f(x)=-f(-x)，log2

a-x

1+x

=-log2

a+x

1-x

，

a-x

1+x

=

1-x

a+x

，a²=1，因为a≠-1，所以a=1．故④正确．
故答案为：①④．

点评：该题目考查了函数的奇偶性的定义、零点定理、等基础知识，在应用过程中要注意准确把握定理应用的要素与条件，切不可想当然．